2008年四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（ ）
A．H+2
B．+2
C．
D．

2. 难度：中等

若均为非负整数，则M=5x+4y+2z的取值范围是（ ）
A．100≤M≤110
B．110≤M≤120
C．120≤M≤130
D．130≤M≤140

3. 难度：中等

某天，学校研究性学习小组的同学从8时起骑自行车外出调查，17时回到学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是（ ）

A．在离校最远的地方调查的时间是14～15时
B．第一次调查从9时开始，历时2h
C．中午12～13时休息的地方离校15km
D．返校的速度最慢

4. 难度：中等

已知函数y=|8-2x-x²|和y=kx+k（k为常数），则不论k为何值，这两个函数的图象（ ）
A．有且只有一个交点
B．有且只有二个交点
C．有且只有三个交点
D．有且只有四个交点

5. 难度：中等

如果x、y是非零实数，使得，那么x+y等于（ ）
A．3
B．
C．
D．

6. 难度：中等

一列数：7，7²，7³，7⁴，…7²⁰⁰⁸．其中末位数字是3的有（ ）
A．502个
B．500个
C．1004个
D．256个

7. 难度：中等

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD⊥BE，那么a：b：c=（ ）
A．1：2：3
B．3：2：1
C．
D．

8. 难度：中等

已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（ ）
A．2度
B．3度
C．5度
D．7度

9. 难度：中等

已知：m²+n²+mn+m-n=-1，则的值等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

10. 难度：中等

积（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）值的整数部分是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：    ．

12. 难度：中等

当|x|≤4时，函数y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最大值减去最小值的差是：    ．

13. 难度：中等

今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，则：=    ．

14. 难度：中等

如果两点：M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），那么．已知：A（3，-1），B（-1，4），C（1，-6），在△ABC内求一点P，使PA²+PB²+PC²最小，则点P的坐标是    ．

15. 难度：中等

实数a、b、c满足：a²+6b=-17，b²+8c=-23，c²+2a=14，则a+b+c=    ．

16. 难度：中等

已知恒等式：（x²-x+1）⁶=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰+a₁₁x¹¹+a₁₂x¹²，则（a+a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂）²-（a₁+a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁）²=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）已知：点（x，y）在直线y=-x+1上，且x²+y²=2，求x⁷+y⁷的值．
（2）计算：
（3）已知a、b、c是直角三角形△ABC的角A、B、C所对的边，∠C=90°．求：的值．

18. 难度：中等

已知x、y、z为实数，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，试求z的最大值与最小值．

19. 难度：中等

在成都火车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？

20. 难度：中等

如图，△ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
求证：（1）AI=BD；
（2）OI=AE．

21. 难度：中等

数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x²的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x_C、x_D，点H的纵坐标为y_H．
同学发现两个结论：
①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x_C•x_D=-y_H
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x²”改为“y=ax²（a＞0）”，其他条件不变，那么x_C、x_D与y_H有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）

22. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为c_l、c₂、c₃．试证明：，并指出等号成立时的值．