2006年浙江省宁波市昆山高中实验班招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

2. 难度：中等

计算3的正整数次幂：3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，…，归纳各计算结果中的个位数字规律，可得3²⁰⁰⁶的个位数字是（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9

3. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AE、AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的数据是（ ）

A．10
B．15
C．18
D．20

4. 难度：中等

有编号为1，2，3，4，…，的若干盆花按如图所示摆放，花盆中的花根据编号由小到大的顺序按赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫依次循环排列，则第10行从左边数第6盆花的颜色为（ ）

A．橙色
B．蓝色
C．绿色
D．青色

5. 难度：中等

如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC（ ）

A．不存在
B．存在一点
C．存在二点
D．存在无数点

6. 难度：中等

关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有两个不等的实数根x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂，那么a的取值范围是（ ）
A．-＜a＜
B．a＞
C．a＜-
D．-＜a＜0

7. 难度：中等

某工艺品厂要从一块矩形的石板中截断的方式割出一块与原矩形各边分别平行的较小的矩形石板（如图），“截断切割”是指每次割沿一条直线将石板切割成两块．设切割的成本与切割长度成正比，那么，共有多少种成本不同的切割顺序？（ ）

A．12
B．14
C．18
D．24

8. 难度：中等

观察图寻找规律，在“”处填上的数字是（ ）

A．128
B．136
C．162
D．188

二、填空题

9. 难度：中等

水平放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中的“快”表示正方体的前面，“乐”表示右面，“节”表示下面，则“祝”、“你”、“春”分别表示正方体的    ．

10. 难度：中等

用“⊗”、“*”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊗b=a，a*b=b，例如3⊗2=3，3*2=2，则（2006⊗2005）*（2004⊗2003）=    ．

11. 难度：中等

如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=    度．

12. 难度：中等

某商店出售同一种规格的旅行箱（除颜色有红、黄区别外，其余都一样），如果售出红色旅行箱与黄色旅行箱的机会均等．某天该商店共出售该旅行箱5只，那么售出旅行箱的颜色“三黄两红”与“三红两黄”的机会    （只需填“一样”或“不一样”）．

13. 难度：中等

在△ABC中，D是BC上一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是    ．

14. 难度：中等

若方程|x²+ax|=4只有3个不相等的实数根，则a=    ．

15. 难度：中等

某学生为了描点作出函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，取自变量的7个值，x₁＜x₂＜…＜x₇，且x₂-x₁=x₃-x₂=…=x₇-x₆，分别算出对应的y值，列表如下：
但由于粗心算错了其中一个y值，请指出算错的是    ．（从上述数据中选一个填入）

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	51	107	185	285	407	549	717

16. 难度：中等

把一个直径30厘米的精密球体，装进一个棱长为32厘米的正方体箱子里，为了使这个精密球体在运输过程中不致晃动，能保持绝对稳定，需要在8个箱角处各放一个大小相同的小球．则这种小球的半径应该为    厘米．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．
（1）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是______三角形；
（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是______三角形．

18. 难度：中等

《红楼梦》里有这样一首诗：“阶下儿童仰面时，清明妆点最堪宜，游丝一断浑无力，莫向东风怨别离．”这首诗生动地描绘了清明时节人们放风筝时的情景．假设一个扇形风筝的周长（l）已经确定，要使它的面积最大，那么这个风筝的具体形状该如何设计？

19. 难度：中等

如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．

（1）在第n个图中，第一横行共______块瓷砖，第一竖列共有______块瓷砖；（均用含n的代数式表示）
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，问题（3）中，共花多少元购买瓷砖；
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．

20. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁+x₂=1，x₁•x₂=-6，且△ABC的面积为．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如果P是线段AC上一个动点（不与A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

将10盒香烟一次性包装成长方体或正方体，且盒与盒之间紧密接触．若设一盒香烟的长、宽和厚分别为a、b、c（a＞b＞c），则
（1）共有多少种不同的包装方式？（只考虑包装后的形状）
（2）请分别写出各种包装方式表面积的代数式．
（3）哪一种包装方式的表面积最小？若设a=88mm，b=58mm，c=22mm，那么最小表面积为多少？