2009年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学试卷 （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．

A．25
B．25
C．
D．25+25

2. 难度：中等

对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac-bd，ad+bc）．若（1，2）⊕（p，q）=（5，0），则（p，q）为（ ）
A．（1，-2）
B．（2，-2）
C．（2，-1）
D．（1，2）

3. 难度：中等

已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（ ）

A．2R
B．R
C．R
D．R

4. 难度：中等

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）

A．13=3+10
B．25=9+16
C．36=15+21
D．49=18+31

5. 难度：中等

如图，是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．、、

6. 难度：中等

如图，已知圆锥的底面半径r=，母线l=1，从底边上一点P开始沿着它的侧面画一条曲线，曲线的终点又回到P点，则曲线长度的最小值为（ ）

A．
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

已知不等式ax²+bx+c＞0的x的取值范围是x＜1或x＞3，则满足不等式cx²+bx+a＞0的x的取值范围是（ ）
A．
B．x＜-1或x＞3
C．x＜-3或x＞-1
D．

8. 难度：中等

某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为（ ）
A．（5，2009）
B．（6，2010）
C．（3，401）
D．（4，402）

二、填空题

9. 难度：中等

如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是    °．

10. 难度：中等

如图1是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图2所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图1中的圆与扇环的面积比为    ．

11. 难度：中等

如图，此图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是    ．

12. 难度：中等

如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠ADC=120°，P为弧BC上一点，则cos∠APD为    ．

13. 难度：中等

如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△₁，△₂，△₃（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是    ．

三、解答题

14. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离．

四、填空题

15. 难度：中等

函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-10|，当x在实数范围内取值时，y的最小值是    ．

16. 难度：中等

当-4≤x≤1时，不等式始终成立，则满足条件的最小整数m=    ．

17. 难度：中等

水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为    ．

18. 难度：中等

若记函数y在x处的值为f（x），（例如y=x²，也可记着f（x）=x²）已知函数f（x）=ax²+bx+c的图象如图所示，且ax²+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，则下列结论成立的有    ．
（1）ac＞0，
（2），
（3）对所有的实数x都有f（x）＞x，
（4）对所有的实数x都有f（f（x））＞x．

五、解答题

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．

20. 难度：中等

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式．

21. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当点E与点A重合时，折痕EF的长为______

22. 难度：中等

如图，已知抛物线C₁：y=a（x+2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

23. 难度：中等

先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道，若二次函数y=ax²+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b²-4ac≤0；例如y=x²+2x+1=（x+1）²≥0，则△=b²-4ac=0，y=x²+2x+2=（x+1）²+1＞0，则△=b²-4ac＜0．
（1）求证：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥²
（2）若x+2y+3z=6，求x²+y²+z²的最小值；
（3）若2x²+y²+z²=2，求x+y+z的最大值；
（4）指出（2）中x²+y²+z²取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．