2003年浙江省宁波市慈溪中学理科创新实验班招生数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程2（x+y）=xy+7的正整数解有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

如图，D是△ABC的边AB上的点，且BD=3AD，已知CD=10，sin∠BCD=，那么BC边上的高AE等于（ ）

A．9
B．8
C．12
D．6

3. 难度：中等

设x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，且求得x₁³+x₂³=-14，x₁⁴+x₂⁴=34，则x₁⁵+x₂⁵=（ ）
A．-30
B．-34
C．-80
D．-82

4. 难度：中等

如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦，BE∥AC交CD于E，过A点的切线交DC延长线于P，若AC=3，则PC•CE的值是（ ）

A．18
B．6
C．6
D．9

5. 难度：中等

已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲现在的年龄比乙现在的年龄（ ）
A．大3岁
B．小3岁
C．大5岁
D．小5岁

二、填空题

6. 难度：中等

当x=时，多项式（4x²-4x-2003）²⁰⁰³的值=    ．

7. 难度：中等

设实数a、b、c满足=|++|，则函数y=ax²+bx+c的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是    ．

8. 难度：中等

如图，D为△ABC的边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于E、F．已知△CDE的面积为4，△BDF的面积为9，则四边形DEAF的面积为    ．

9. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为    ．

10. 难度：中等

点A在半径为4cm的⊙O上，AB为⊙O的一动弦，当弦AB绕点A旋转45度时，弦AB的中点P经过的路线长为    cm．

三、解答题

11. 难度：中等

已知抛物线y=-x²+x，矩形ABCD的两个顶点C、D在抛物线上，两点A、B在x轴正半轴上．
（1）若ABCD为正方形，求它的边长．
（2）是否存在周长为9的这样的矩形？试述理由．

12. 难度：中等

已知关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根，求a的取值范围．

13. 难度：中等

如图，以矩形ABCD的边AB为直径作圆，过C作直线CP切圆于点P，过点P作PQ⊥AB于Q，PQ分别交CD、AC于E、F，记AQ=m，QB=n（m＞n）．
（1）用含m、n的代数式表示PC的长；
（2）求证：直线AC平分线段PQ．

14. 难度：中等

如图，有一条河流，河宽AB=30米，有人在离B点60米处的C点发现河对岸A点处有一小孩掉入水中，这个人马上就去营救，已知这个人在河岸上跑步的速度为6米/秒，在河水中游泳的速度为3米/秒．
（1）这个人能否在19秒内赶到A点？若能，请给出一种方案．
（2）此人最快能在几秒钟内赶到A点？