2009年湖北省黄冈中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法：（1）相反数等于本身的数只有0；（2）绝对值等于本身的数是正数；（3）立方等于本身的数是1和-1；（4）平方等于本身的相反数的数只有0．其中正确的说法的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

设a、b、c均为正数，若c（b+a）＜b（a+c）＜a（c+b），则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a

3. 难度：中等

若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，一次函数y₁=x-1与反比例函数的图象交于点A、B，则使y₁＞y₂的x的取值范围是（ ）

A．x＞2
B．-1＜x＜2
C．x＞2或-1＜x＜0
D．x＞2或x＜-1

5. 难度：中等

当，时，的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

6. 难度：中等

在直角坐标系中，O是坐标原点，已知点，点Q在x轴上，若△POQ是等腰三角形，则满足条件的所有Q点的横坐标的和是（ ）
A．2
B．
C．8
D．

7. 难度：中等

如图，已知是AB是⊙O直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PM平分∠CPA，交AC于点M，则∠CMP的度数是（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．不能确定

8. 难度：中等

已知实数a，b满足，则2008a²-2009ab+3a-3b+23的值是（ ）
A．1
B．3
C．21
D．2009

二、填空题

9. 难度：中等

已知，，a≠b，则的值是    ．

10. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且，则的值为    ．

11. 难度：中等

如图，四边形ABCD是菱形，且∠ADC=120°，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的动点，若PM+PN的最小值是1，则菱形ABCD的面积是    ．

12. 难度：中等

若实数a，b满足2b²-2a=1，则-2a²-b²的最大值是    ．

13. 难度：中等

有一地球同步卫星A与地面四个科研机构B、C、D、E，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息（如A不能同时给B、C发信息，它可先发给B，再发给C），它们彼此之间一次接发信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短时间为    ．

14. 难度：中等

把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m、n，则二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴没有公共点的概率是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，点F是△ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆．

16. 难度：中等

如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BD=2CD=2，试求AB的长．

17. 难度：中等

已知当时，二次函数y=ax²+bx+c取得最值，且函数图象过点A（0，1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）把函数y=ax²+bx+c图象向左平移d个单位后所得函数图象的解析式是y=ax²+x+e，试求e的值；
（3）若函数y=ax²+x+e的图象与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且A点在B点左边，试求2α⁴-α³+α²+3α-5的值．

18. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y=x的图象两个交点的横坐标为x₁，x₂，若．
（1）试用a，x₁，x₂表示b，c；
（2）若0＜t＜x₁，当x=t时二次函数的值记为f（t），试证明：t＜f（t）＜x₁．

19. 难度：中等

首先，我们看两个问题的解答：
问题1：已知x＞0，求的最小值．
问题2：已知t＞2，求的最小值．
问题1解答：对于x＞0，我们有：≥．当，即时，上述不等式取等号，所以的最小值．
问题2解答：令x=t-2，则t=x+2，于是．
由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．
弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：
在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面积的最小值．