2004年江苏省苏州市昆山市高中实验班招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列四个命题中正确的命题个数有（ ）
①三角形最多有三条对称轴；②在△ABC中，若a²+b²≠c²，则△ABC不是直角三角形；③等腰三角形的一边长为4，另一边长9，则它的周长为17或22；④一个三角形中至少有两个锐角．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

要使多项式（x-1）（x+3）（x-4）（x-8）+m为一个完全平方式，则m等于（ ）
A．12
B．24
C．98
D．196

3. 难度：中等

如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB=10，AC=16，则MN等于（ ）

A．2
B．2.5
C．3
D．3.5

4. 难度：中等

已知：m＞0，化简根式所得结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a-b，b-a），那么直线l经过（ ）
A．第二、四象限
B．第一、二、三象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限

6. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=CD=x，AD=BC=y，把它折叠起来，使顶点A与C重合，则折痕PQ的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数y=ax²+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c取值范围是（ ）
A．-2＜a+b+c＜0
B．-2＜a+b+c＜2
C．0＜a+b+c＜2
D．a+b+c＜2

8. 难度：中等

如图，四条线段的长分别为9，5，x、1（其中x为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段，则x可取值的个数为（ ）

A．1个
B．3个
C．6个
D．9个

二、填空题

9. 难度：中等

若10^x=3，10^y=，则x+y=    ．

10. 难度：中等

已知a+b=5，ab=-14，则a³+a²b+ab²+b³=    ．

11. 难度：中等

已知（x²-x+1）⁶=a₁₂x¹²+a₁₁x¹¹+…+a₂x²+a₁x+a，则a₁₂+a₁₀+a₈+…+a₂+a=    ．

12. 难度：中等

如果α、β是方程x²+2（k+3）x+k²+3=0的两实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是    ．

13. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB=30°，过点C的⊙O的切线交AB延长线于D，若OD=，那么弦AC长等于    ．

14. 难度：中等

如图，AC是△ABC的外接圆的直径，AB=4，AC=4，P是BC上任一点，过点P作PD∥AB交AC于点D，设BP=x，则△APD的面积y与x之间的函数关系式为    ．

15. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y=x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b=    ．

16. 难度：中等

如图是某人出差从A城出发到B城去，沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需的时间标在两城市之间的连线上（单位：时），若这个人租用一辆小汽车出行，且汽车行驶的平均速度为80千米/时，而汽车行驶1千米需费用1.2元，请写出这个人从A城出发到B城的最短路线的走法：    ，这时，他所需的最小费用为     元．

三、解答题

17. 难度：中等

已知抛物线y=2x²-4mx+m²
（1）求证：当m为非零实数时，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C，且S_△ABC=4，求m的值．

18. 难度：中等

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点．
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切．为什么？
（2）当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD²=DE•DF．为什么？

19. 难度：中等

新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿元资金投资发展项目．现有6个项目可供选择（每个项目或者全部投资，或者不被投资），各项目所需投资金额和预计年收益如下表所示．

项   目	A	B	C	D	E	F
投资（亿元）	5	2	6	4	6	8
收益（千万元）	0.55	0.4	0.6	0.5	0.9	1

如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于1.6千万元．问应选择哪几个项目投资收益最大？

20. 难度：中等

如图，⊙H与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心H的坐标是（1，-1），半径是．
（1）求经过点D的切线的解析式；
（2）问过点A的切线与过点D的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，请说明理由．

21. 难度：中等

阅读并解答
看下面的问题：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法．
一般地，有如下原理：
分类计数原理：完成一件事，在第1类办法中有m₁种不同的方法，在第2类办法中有m₂种不同的方法…在第n类办法中有m_n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+m_n种不同的方法．
再看下面的问题：
从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
这个问题与前一问题不同．在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地．而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地．
这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有  3×2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法…做第n步有m_n种不同的方法．那么完成这件事共有
N=m₁×m₂×…×m_n种不同的方法．
例：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
【解析】
（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类计数原理，不同取法的种数是
N=m₁+m₂+m₃=4+3+2=9
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法．
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种取法．根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是N=m₁×m₂×m₃=4×3×2=24
答：从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法．
完成下列填空：
（1）从5位同学中产生1名组长，1名副组长有______种不同的选法．
（2）如图，一条电路在从A处到B处接通时，可以有______条不同的路线．
（3）用数字0、1、2、3、4、5组成______个没有重复数字的六位奇数．
（4）一种汽车牌照由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，则不同牌照号码的个数是______．