2010年浙江省宁波市慈溪中学保送生招生考试数学模拟试卷（四）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果x=（1+2）（1+2²）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2²⁵⁶），则x+1是（ ）
A．一个奇数
B．一个质数
C．一个整数的平方
D．一个奇数的立方

2. 难度：中等

已知上海到美国洛杉矶的海底电缆共有15个接点．某次从上海发出一个信息时，某个接点发生故障，为了尽快断定故障发生点，排除故障，至少需要检查的接点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

3. 难度：中等

如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若要在该纸片中剪下两个外切的圆⊙O₁和⊙O₂，要求⊙O₁和⊙O₂的圆心均在对角线BD上，且⊙O₁和⊙O₂分别与BC、AD相切，则O₁O₂的长为（ ）

A．cm
B．cm
C．cm
D．2cm

4. 难度：中等

若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是二次函数y=ax²+bx+c（abc≠0）的图象上的两点，且y₁=y₂，则当x=x₁+x₂时，y的值为（ ）
A．0
B．c
C．-
D．

5. 难度：中等

我们将1×2×3×…×n记作n!，如：5!=1×2×3×4×5；100!=1×2×3×…×100；若设S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!，则S除以2008的余数是（ ）
A．0
B．1
C．1004
D．2007

二、填空题

6. 难度：中等

若关于x的不等式a（x-1）+b（x+1）＞0的解是x＜，则关于x的不等式a（x+1）+b（x-1）＞0的解是    ．

7. 难度：中等

9位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余分数的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数，该运动员得9.4分，那么如果精确到两位小数，该运动员得分应当是    分．

8. 难度：中等

如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共    个．

9. 难度：中等

有一列数，按顺序分别表示为：a₁、a₂、a₃、…、a_n，且每一个数减去它前面一个数的差都相等，即a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2=…=a₂-a₁，若已知3（a₁+a₅）+2（a₇+a₉+a₁₁）=12，则a₁+a₂+…+a₁₁=    ．

10. 难度：中等

如果方程（x-1）（x²-2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是    ．

11. 难度：中等

如图，已知点F的坐标为（0，1），过点F作一条直线与抛物线y=交于点A和点B，若以线段AB为直径作圆，则该圆与直线y=-1的位置关系是    ．

三、解答题

12. 难度：中等

某商铺专营A、B两种商品，试销一段时间后总结得到经营利润y（万元）与投入资金x（万元）的经验公式分别是：y_A=x，y_B=．现该商铺投入10万元资金经营上述两种商品．请求出最佳分配方案，使该商铺能够获得最大利润，并求指出最大利润是多少万元？

13. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，过点C作CD⊥AB，垂足为E，并交⊙O于D．
（1）求证：=；
（2）若点E是线段PA的中点，求∠P的度数．

14. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c均为实数且a≠0）满足条件：对任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a-b+c的取值范围．

15. 难度：中等

如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=图象上第一象限内的两个动点（a＜b，a≠c），且始终有OP=OQ．
（1）求证：a=d，b=c；
（2）P₁是点P关于y轴的对称点，Q₁是点Q关于x轴的对称点，连接P₁Q₁分别交OP、OQ于点M、N．
①求证：PQ∥P₁Q₁；
②求四边形PQNM的面积S能否等于？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．