2010年福建省泉州市永春一中高一新生夏令营数学作业（二）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

实数a、b、c满足：a²+6b=-17，b²+8c=-23，c²+2a=14，则a+b+c=    ．

2. 难度：中等

在四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=3，BC=4，CD=5，则此四边形的面积是    ．

3. 难度：中等

在四位正整数中，a，b，c，d都不为零，且、都是完全平方数，则满足上述条件的最大的四位正整数是    ．

4. 难度：中等

9位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余分数的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数，该运动员得9.4分，那么如果精确到两位小数，该运动员得分应当是    分．

5. 难度：中等

已知关于x的二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为12和4；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和6，那么=    ．

6. 难度：中等

一个棱长为整数a的大正方体可以被分成280个小正方体，其中有279个是棱长为1的正方体，剩下的一个正方体的棱长也是整数，那么a的值是    ．

7. 难度：中等

一个边长为5的正方形内接于一个边长为7的正方形，那么，内接正方形的一个顶点到外面的正方形的四个顶点的距离的最大的一个是    ．

8. 难度：中等

若非零整数n使得的值也是整数，则n=    ．

9. 难度：中等

十个人围座在一个圆桌边，每人选定一个数并将此数告诉他的两个邻座，然后每人报出他的两个邻座告诉他的两个数的平均数，如图给出了所有人报的数，则报出数6的人他原来选定的数是    ．

10. 难度：中等

如图所示：AP、PB、AB分别是三个半圆的直径，PQ⊥AB，面积为9π的圆O与两个半圆及PQ都相切，而阴影部分的面积是39π，则AB的长是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

将所有质数从小到大依次排列为p₁，p₂，p₃，…，证明：当n≥2时，p_n+p_n+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数（在这些正整数中，允许有相同的数）的乘积．

12. 难度：中等

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，动点P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直线PA、PB分别交⊙O₁于C、D，问：⊙O₁的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．

13. 难度：中等

已知一个边长为a的正方形内部可以放置五个半径为1的圆（圆可以与正方形的边相切），使得任意两个圆至多只有一个公共点，求a的最小值．

14. 难度：中等

整数x，x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₂，x₂₀₀₃满足条件：x=0，|x₁|=|x+1|，|x₂|=|x₁+1|，|x₃|=|x₂+1|，…，|x₂₀₀₃|=|x₂₀₀₂+1|，
求：|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值．