2011年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（五）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A，B，C，D（不同的线段或圆）中的某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为A•B．在乙组图形的（a），（b），（c），（d）4个图中，表示“A•D”和“A•C”的是（ ）

A．（a），（b）
B．（b），（c）
C．（c），（d）
D．（b），（d）

2. 难度：中等

已知三点A（2，3），B（5，4），C（-4，1），依次连接这三点，则（ ）
A．构成等边三角形
B．构成直角三角形
C．构成锐角三角形
D．三点在同一直线上

3. 难度：中等

P为正方形ABCD内一点，若PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB的度数为（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．以上都不对

4. 难度：中等

已知===p，则直线y=px+p的图象必经过（ ）
A．第1，2，3象限
B．第2，3象限
C．第2，3，4象限
D．第2，4象限

5. 难度：中等

横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y=的图象上整点的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个

6. 难度：中等

若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ）
A．ab=h²
B．
C．
D．a²+b²=2h²

7. 难度：中等

把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若K是△ABC内任意一点，△KAB，△KBC，△KCA的重心分别为D，E，F，则S_△DEF：S_△ABC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知整数x，y，z满足x≤y＜z，且，那么x²+y²+z²的值等于（ ）
A．2
B．14
C．2或14
D．14或17

二、填空题

10. 难度：中等

如图，点P在正方形ABCD外，PB=10，△APB的面积为60，△BPC的面积为30，则正方形ABCD的面积为    ．

11. 难度：中等

关于的方程x²+2（k+1）x+k²=0两实根之和为m，且满足m=-2（k+1），关于y的不等式组有实数解，则k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

方程x+…+=2009的解是x=    ．

13. 难度：中等

甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多    米．

14. 难度：中等

已知实数x，y满足2x-3y=4，并且x≥0，y≤1，则x-y的最小值是    ．

15. 难度：中等

如图，线段AB的长为cm，点D在AB上，点AD上的△ACD是边长为10cm的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为    ．

16. 难度：中等

连续2次掷立方体骰子得到的点数依次为m，n，则以点A（0，0），B（4，-3），C（m，n）为顶点能构成等腰三角形的概率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

六个面分别标有1，1，x²+1，x，x+1，2x-1的小正方体的表面展开图如图所示，
（1）是否存在x，使得正方体相对的两面上数字相等，若存在，求出这样的x；若不存在，请说明理由；
（2）若六个面上的6个数之和为15，且x为正数，求出满足条件的x；
（3）掷这个正方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某点的横坐标，朝下一面的数位该点的纵坐标，按照这样的规定，每抛一次该小正方体，就得到平面内一个点的坐标，求在（2）的条件下抛一次正方体所得的点恰在直线y=2x-1上的概率．

18. 难度：中等

整数a使得关于x，y的方程组对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．

19. 难度：中等

在科技管里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图（1）所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡板时，会等可能地向左或向右落下．
（1）试问小球通过第二层A位置的概率是多少？
（2）具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？
（3）当情形如图（2），在第二层与第三层挡块之间加一层左侧隔板，这时落到B、C位置处的概率各是多少？

20. 难度：中等

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，动点P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直线PA、PB分别交⊙O₁于C、D，问：⊙O₁的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．

21. 难度：中等

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．
（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由；
（2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．

22. 难度：中等

在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．
（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．
（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．