2010年浙江省宁波市慈溪中学保送生招生考试数学模拟试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

函数y=||x+1|-|x+2||+|x+3|，则y的最小值等于（ ）
A．0
B．
C．1
D．

3. 难度：中等

设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上．若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（ ）
A．3
B．0
C．4
D．

5. 难度：中等

如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150°，D为VB上一点，VD=．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC=6，中线CE=5．延长AB到D使BD=AB．则CD=    ．

7. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°．在△ABC所在平面内，除了△ABC外，还有    个以△ABC的某条边为边且与△ABC全等的三角形．

8. 难度：中等

如图所示，大正方形ABCD的两个对角上摆放着两个小正方形BEFG和DHMN．两个小正方形重迭部分的面积是1．A、F、N三点共线，如果ABCD的面积是144，那么MN=    ．

9. 难度：中等

把长为1cm的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为    ．

10. 难度：中等

如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上．若AB=m+，其中m、n是整数，则m+n的值为    ．

11. 难度：中等

不等式x²+px＞4x+p-3对于一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是    ．

三、解答题

12. 难度：中等

你觉得手机很神奇？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图象等信息，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳．其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制的形式给出的．每个二进制数都由0和1构成，电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数．例如“开”“开”“关”表示“110”．
如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．（以下各小题要求写出解答过程）

（1）若此电路上有4个元件，则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种？（请一一列出）；
（2）若用a_k表示电路上k（k≥1）只电子元件所有不同的“开”“关”状态数，试探索a_k，a_k+1，a_k+2之间的关系（不要求论证）；
（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算a₁₀的值．

13. 难度：中等

如图，在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，在边AB上取点D，在CA的延长线上取点E，使AC•CE+AB•BD=BC²
求证：（1）∠CEB＞∠ABC；
（2）BE=2CD．

14. 难度：中等

已知关于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0有两个实数根y₁和y₂
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m≥-2的整数，试求m的最小值．

15. 难度：中等

△ABC中，∠C=30°，BM是中线，AC=2a．若沿BM将三角形ABC折叠，那么两个小三角形ABM和BCM重叠部分的面积恰好等于△ABC面积的，试求△ABC的面积（用含a的式子表示）