2009年天津市河西区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

中国2010年上海世博会正在引起世界的关注和期待，在下面的四个往届世博会会徽的设计图案中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列不等关系表示正确的是（ ）
A．＞7
B．＞8
C．＞0.6667
D．|-2.3|＞2.3

4. 难度：中等

将抛物线y=x²向右平移一个单位，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．
B．
C．²
D．（x-1）²

5. 难度：中等

在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，那么两次取出的小球的标号之和是偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

把下列图形折叠起来，所形成的立体图形是圆锥的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）

A．当AC=BD时，它是矩形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AD=DC时，它是菱形
D．当∠ABC=90°时，它是正方形

8. 难度：中等

如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，依次再作内切圆，那么图中最小的圆的半径是（ ）

A．r
B．
C．r
D．r

9. 难度：中等

如图是由若干个全等的等腰梯形拼成的四边形，四边形的轴承与梯形的个数如表中所列，观察图形并思考当这个等腰梯形共有45个时，所拼成的图形的周长为（ ）

梯形个数	1	2	3	…
图形周长	5a	8a	11a	…

A．137a
B．136a
C．135a
D．134a

10. 难度：中等

在坐标系中，已知A（-3，0），B（0，-4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（ ）
A．6条
B．3条
C．4条
D．5条

二、填空题

11. 难度：中等

不等式的整数解是    ．

12. 难度：中等

我国的陆地面积约是9.6×10⁶平方千米，据测算，平均每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×10⁵吨煤所产生的能量，那么，在我国领土上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧    吨煤所产生的能量．

13. 难度：中等

如图，已知PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，PO=13，AO=5，则△PCD周长为    ．

14. 难度：中等

如图，正方形的边长为a，分别以正方形的四个顶点为圆心，以为半径作圆，则图中的阴影面积为    ．

15. 难度：中等

请你改动9x²-12xy+y²中的某一项，使它成为完全平方式，那么经你改动后原式可以写为    ．

16. 难度：中等

如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿使竹竿，旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为    m．

三、解答题

17. 难度：中等

在直角坐标系中，有四个点A（-8，3），B（-4，5），C（0，n），D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求的值．

四、填空题

18. 难度：中等

如图，在一个正方形的工件中心挖去一个小正方形（小正方形的四边与大正方形的四边分别平方），留下一个“方环”，现在要想求这个方环的面积，但只准测量一次（即只准测一条线段的长），你能办到吗？请叙述你的方法：    ．

五、解答题

19. 难度：中等

解二元一次方程组：．

20. 难度：中等

已知动点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（4，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围．
（2）当P点的横坐标为3时，△OPA的面积是多少？

21. 难度：中等

如图，将△BCE绕着点C顺时针旋转60°得到△ACD，AC交BE与点F，AD交CE于点G，AD交BE于点P，连接AB和ED．
（1）判断△ABC和△ECD的形状，并说明理由；
（2）求证：△ABF∽△CGD．

22. 难度：中等

某公司员工开展了一次为贫困山区学生献爱心的捐款活动．活动结束后，工作人员将公司的捐款情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）求这一公司员工捐款的平均数、众数和中位数．

23. 难度：中等

如图是一块梯形铁片的残余部分，量出∠A=120°，∠B=105°，AB=20cm，并且还知道原来梯形铁片的另一底边比AB长10cm．
（1）求原来梯形铁片的∠D和∠C的度数．
（2）求原来梯形铁片的另外三条边的长度．

24. 难度：中等

有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独完成工作，就要超过规定日期3天．现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？

25. 难度：中等

如图一，已知点P是边长为a的等边△ABC内任意一点，点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h₁，h₂，h₃，则h₁，h₂，h₃之间有什么关系呢？
分析：连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，根据：
S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，即：，可得．
问题1：若点P是边长为a的等边△ABC外一点（如图二所示位置），点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h₁，h₂，h₃．探索h₁，h₂，h₃之间有什么关系呢？并证明你的结论；
问题2：如图三，正方形ABCD的边长为a，点P是BC边上任意一点（可与B、C重合），B、C、D三点到射线AP的距离分别是h₁，h₂，h₃，设h₁+h₂+h₃=y，线段AP=x，求y与x的函数关系式，并求y的最大值与最小值．

26. 难度：中等

已知二次函数y₁=ax²+bx+1（a＞0），一次函数y₂=x．
（1）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；
（2）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2，求a、b的值；
（3）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象有两个交点（x₁，0）（x₂，0），且满足x₁＜2＜x₂＜4，此时设函数y₁的对称轴为x=x，求证：x＞-1．