2009年安徽省师大附中高一新生入学数学测试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如α是最小的自然数，那么2009^α的值是（ ）
A．1
B．-1
C．2009
D．0

2. 难度：中等

如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于（ ）

A．45°
B．60°
C．30°
D．不能确定

3. 难度：中等

如图2，某同学用若干完全相同的正方体积木搭成的简单几何体的主视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

古代“五行”学说认为：“物质分为金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”若任取“两行”，则相克的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某汽车生产厂2008年汽车销量为p万辆，受国家汽车行业的政策影响，预计以后每年比上年增长q%，那么2010年该汽车生产厂的汽车销量是（ ）
A．p（1+q）²
B．p（1+q%）²
C．p+p（q%）²
D．p+pq²

6. 难度：中等

为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）．那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（ ）

A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人

7. 难度：中等

已知反比例函数与一次函数y=2kx+b在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=50°则∠BDC的大小是（ ）

A．30°
B．75°
C．15°
D．25°

9. 难度：中等

如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，若AD=1，则OE的长是（ ）

A．1
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

已知A（x₁，2009），B（x₂，2009）是二次函数y=ax²+bx+5（a≠0）的图象上的两点，则当x=x₁+x₂时，二次函数的值是（ ）
A．
B．
C．2009
D．5

二、填空题

11. 难度：中等

若关于x的方程=-1的解为正数，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=4，CD=2，对角线AC与BD交于点M．则点M到BC的距离是    ．

13. 难度：中等

直线y=ax（a＞0）与双曲线y=交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，则4x₁y₂-3x₂y₁=    ．

14. 难度：中等

如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是    ．

15. 难度：中等

我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目（个数为1～9）不同的点图，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，则图中已给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应点图的点数是    ．

16. 难度：中等

有一个六边形钢ABCDEF（如图1所示），它由6条钢管绞接而成．在生活中，要保持该钢架稳定且形状不变，必须在接点处增加一些钢管绞接．通过实践至少再用三根钢管．请同学们想一想，下面固定方法中（如图2所示）能保持该六边形钢架稳定且形状不变的有    ．（只填序号）

三、解答题

17. 难度：中等

观察下列等式：
，2.，，…
（1）根据以上规律猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式是否成立？

18. 难度：中等

2007年某市国际车展期间，某公司对参观本次车展盛会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．
①根据调查问卷的结果，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：

年收入（万元）	4.8	6	7.2	9	10
被调查的消费者人数（人）	200	500	200	70	30

②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出频数分布直方图的一部分（如图）．
注：每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数．请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是______万元；
（2）请在图中补全这个频数分布直方图；
（3）打算购买价格10万元以下小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是______%．

19. 难度：中等

将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x²-（k-2）x+2k=0的两个根，
（1）求k的值；
（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC²=PE•PO
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．

22. 难度：中等

阅读：我们知道，在数轴上x=1表示一个点，而平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图①．观察图①可以得出：直线x=1与直线y=2x+1的交P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解是在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧部分，如图②；y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它的右下方的部分，如图③．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组的解；
（2）用阴影部分表示不等式组所围成的平面区域，并求围成区域的面积；
（3）现有一直角三角形（其中∠A=90°，AB=2，AC=4）小车沿x轴自左向右运动，当点A到达何位置时，小车被阴影部分挡住的面积最大？