2008年安徽省芜湖市一中高一自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a+b+c=3，a²+b²+c²=3，则a²⁰⁰⁸+b²⁰⁰⁸+c²⁰⁰⁸的值是（ ）
A．0
B．3
C．2²⁰⁰⁸
D．3×2²⁰⁰⁸

2. 难度：中等

设a²+1=3a，b²+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11

3. 难度：中等

方程组的解的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（ ）
A．8个
B．10个
C．12个
D．13个

5. 难度：中等

如图，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，对角线AC⊥BD，锐角∠ABC=α，则该梯形的面积是（ ）

A．2msinα
B．m²（sinα）²
C．2mcosα
D．m²（cosα）²

6. 难度：中等

如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（ ）

A．12
B．16
C．4
D．8

二、填空题

7. 难度：中等

若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

三个（不一定各不相同）正整数的和等于100，将它们两两相减（大的减去小的）可得三个差数，则这三个差数的和的最大可能值为    ．

9. 难度：中等

P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于Q，则∠PQC=    ．

10. 难度：中等

如图，点A，C都在函数的图象上，点B，D都x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为    ．

11. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，M、N分别是边BC、DC中点，AN=1，AM=2，且∠MAN=60°，则AB的长为    ．

12. 难度：中等

已知对任意正整数n，都有a₁+a₂+…+a_n=n³，则+++…+=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．
（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁长的取值范围．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．
求证：（1）∠CFD=∠CAD；
（2）EG＜EF．

16. 难度：中等

已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

17. 难度：中等

某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．