2005年江苏省镇江中学高中单独招生考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

化简：=    ．

2. 难度：中等

已知：2^x+2^-x=5，计算4^x+4^-x=    ．

3. 难度：中等

方程（2000x）²+1999×2001x-1=0较小的一个根是    ．

4. 难度：中等

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是BC边上的高，已知BD=8，CD=3，AD=6，则直径AM的长为    ．

5. 难度：中等

甲，乙，丙三人进行百米赛跑（假定各人的速度保持不变），当甲到达终点时，乙离终点还有1m，丙还有2m，则当乙到达终点时，丙离终点还有    m．（保留3位有效数字）

6. 难度：中等

已知：点P是等边△ABC内任意一点，它到三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，且满足h₁+h₂+h₃=6，则S_△ABC=    ．

7. 难度：中等

小明在镜子内看到客厅的电子钟的一端的挂钉掉了，如图所示，则此时实际时间是    ．

8. 难度：中等

王老师家准备用边长相等的正四边形和正八边形的地面砖铺客厅，铺设图案如图所示．购买这两种正多边形地砖的数量之比约为    ．

9. 难度：中等

观察下列各式：3²=5²-4²；5²=13²-12²；7²=25²-24²；9²=41²-40²；…请你将猜想到的规律用含正整数n（n≥1）的等式表示出来    ．

10. 难度：中等

已知：如图，小正六边形的边长是1，大正六边形的边长的2，A是小正六边形的一个顶点，若小正六边形沿大正六边形内侧滚动一周，回到原来的位置，则点A的行程为    （结果保留π）．

二、选择题

11. 难度：中等

下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系

12. 难度：中等

使不等式x²＜|x|成立的x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x＜-1
C．-1＜x＜1
D．-1＜x＜0或0＜x＜1

13. 难度：中等

按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是（ ）

A．6
B．21
C．156
D．231

14. 难度：中等

在△ABC与△A′B′C′中，下列条件不能保证△ABC与△A′B′C′全等的是（ ）
A．∠A=∠A′，∠B=B′，AC=A′C′
B．AB=A′C′，AC=A′B′，∠B=∠C′
C．AB=A′C′，AC=A′B′，∠A=∠A′
D．∠A=∠B′，∠B=∠C′，AB=B′C′

15. 难度：中等

已知：如图，在正五边形ABCDE中，BE分别与AC、AD相交于F、G，下列说法不正确的是（ ）

A．BG=DE
B．∠CAD=36°
C．图中有8个等腰三角形
D．F是BG的黄金分割点

16. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与BE、DF相交于G、H，AB=4，BC=6，则GE的长为（ ）

A．
B．3
C．
D．4

17. 难度：中等

⊙O₁和⊙O₂的半径分别为和，若O₁O₂=3，则两圆共有公切线（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

18. 难度：中等

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，若AD=DC．则sin∠ACO等于（ ）

A．
B．
C．
D．

19. 难度：中等

一组数据x₁，x₂，…，x_n的平均数为5，方差为16，其中n是正整数，则另一组数据3x₁+2，3x₂+2，…，3x_n+2的平均数和标准差分别是（ ）
A．15，144
B．17，144
C．17，12
D．7，16

20. 难度：中等

若方程x²+x-1=0的二根为α、β，则α²+2β²+β的值为（ ）
A．1
B．4
C．2
D．0.5

三、解答题

21. 难度：中等

已知：如图，PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=4，PB=2．
（1）求BC、AB的长；
（2）若∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D、E．求AE的长．

22. 难度：中等

设方程组的解是，，x₁≠x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在这样的实数m，使点（x₁，y₁）和点（x₂，y₂）在同一反比例函数的图象上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC-AD=1．以CD为直径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F，与BC交于点G．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：AE=BF；
（3）当AE=1时，在线段AB上是否存在点P，以点A，P，D为顶点的三角形与以点B，P，C为顶点的三角形相似？若存在，在图中描出所有满足条件的点P的位置（不要求计算）；若不存在，请说理由．
（4）当AE为何值时，能满足（3）中条件的点P有且只有两个？

24. 难度：中等

甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度v₁与v₂（v₁＞v₂），甲前一半的路程使用速度v₁、后一半的路程使用速度v₂；乙前一半的时间使用速度v₂、后一半的时间使用速度v₁．
（1）甲、乙两人从A地到达B地的平均速度各是多少（用v₁和v₂表示）
（2）甲、乙两人谁先到达B地，为什么？
（3）如图是甲从A地到达B地的路程s与时间t的函数图象，请你在图中画出相应的乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象．

25. 难度：中等

某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数（k为非零常数）的图象上的一动点．
（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；
（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；
（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）