2009年浙江省宁波市宁海中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，A、B是函数图象上两点，点C、D、E、F分别在坐标轴上，且与点A、B、O构成正方形和长方形．若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（ ）

A．3
B．6
C．9
D．12

2. 难度：中等

甲、乙、丙三人同时玩“石头、剪子、布“的游戏，游戏规则是：石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，则甲获胜（并列不计）的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A=36°，记m=，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．m＞n＞p
B．p＞m＞n
C．n＞p＞m
D．m=n=p

4. 难度：中等

如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点．EF与对角线AC交于P，若（a、b、m、n均为正数），则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

方程x³-2x²-1=0的实数根个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知：三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax³+bx²+cx+1的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-1

7. 难度：中等

如图，五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的周长最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．5

8. 难度：中等

已知，记S（n）=f（1）+f（2）+…+f（n），其中n为正数，则使S（n）＜9成立的n最大值为（ ）
A．96
B．97
C．98
D．99

二、填空题

9. 难度：中等

已知：，则=    ．

10. 难度：中等

实数x₁、x₂、x₃满足，则x₁+x₂+x₃=    ．

11. 难度：中等

x₁、x₂、y₁、y₂满足x₁²+x₂²=2，x₂y₁-x₁y₂=1，x₁y₁+x₂y₂=3．则y₁²+y₂²=    ．

12. 难度：中等

壁虎是蚊子的天敌．如图1是某办公大厅的圆柱，矩形CDEF是该圆柱的左视图（如图2），其中CD=1m，CF=4cm，现在点A处的壁虎发现在点B₁处有一蚊子，这只壁虎要吃掉蚊子所爬的最短路程为    ．

13. 难度：中等

如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为    ．

14. 难度：中等

如图，有一条长度为1的线段EF，其端点E、F在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹的长是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a₁局，输b₁局；二号选手胜a₂局，输b₂局，…，十号选手胜a₁₀局，输b₁₀局．试比较a₁²+a₂²+…+a₁₀²与b₁²+b₂²+…+b₁₀²的大小，并叙述理由．

16. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线BD刚好相切．
（1）试证：∠CBD=∠A；
（2）若cosA=，BD=2，试计算⊙O的面积．

17. 难度：中等

试求方程x²-2x-4|x-1|+4=0的四个根之和；当1＜b＜5时，再求方程x²-2x-4|x-1|+b=0的四个根之和．

18. 难度：中等

试证明：二次函数y=nx²-2mx-2n的图象与x轴交于不同的A、B两点，并回答下列问题：
若二次函数y=nx²-2mx-2n的图象的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）m、n间有何关系？
（2）设以AB为直径的圆与y轴交于点C、D，弦CD的长是否为定值？

19. 难度：中等

先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：
若a≥0，b≥0，则 …①
若a≥0，b≥0，c≥0，则…②
不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：
若ab＞0，试证明不等式：．
证明：∵ab＞0
∴
即．
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：
（1）当ab≥0时，试证明：．
（2）当a、b为任意实数时，试证明：．