2005年甘肃省兰州市铁一中高一入学选拨数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列四个命题中正确的命题个数有（ ）
①三角形最多有三条对称轴；②在△ABC中，若a²+b²≠c²，则△ABC不是直角三角形；③等腰三角形的一边长为4，另一边长9，则它的周长为17或22；④一个三角形中至少有两个锐角．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

设x为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y=的图象上整点的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个

4. 难度：中等

商场的自动扶梯在匀速上升，一男孩与一女孩在这自动扶梯上往上爬，已知男孩往上爬的速度是女孩往上爬的速度的2倍，男孩爬了27级到楼上，女孩爬18级到楼上，则从楼下到楼上自动扶梯的级数是（ ）
A．108
B．54
C．45
D．36

5. 难度：中等

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2π-
B．π+
C．π+2
D．2π-2

二、填空题

6. 难度：中等

计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100=    ．

7. 难度：中等

已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于    ．

8. 难度：中等

△ABC中，AB=5，中线AD=7，则AC边的取值范围是    ．

9. 难度：中等

如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是    ．

10. 难度：中等

用f （n）表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积，例如：f （5）=5；f （29）=18； f （207）=14．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）=    ．

三、解答题

11. 难度：中等

我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依此类推，…
（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？
（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由；
（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．

12. 难度：中等

二次函数的图象的顶点坐标是，它与 x 轴的一个交点B的坐标是（-2，0），另一个交点的是C，它与y 轴相交于D，O为坐标原点．试问：y轴上是否存在点P，使得△POB∽△DOC？若存在，试求出过P、B 两点的直线的解析式；若不存在，说明理由．

13. 难度：中等

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，动点P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直线PA、PB分别交⊙O₁于C、D，问：⊙O₁的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．