2010年福建省宁德市福鼎四中高一新生数学能力测试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

估计  ×+ 的值在                      （ ）
A．6到7之间
B．5到6之间
C．4到5之间
D．3到4之间

2. 难度：中等

（1）如图（a），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；
（2）如图（b），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；
（3）如图（c），两次使用丁字尺（CD所在直线垂直平分线段AB）可以找到圆形工件的圆心；
（4）如图（d），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从P点看A点时仰角的度数．
以上说法正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（ ）

A．1圈
B．1.5圈
C．2圈
D．2.5圈

4. 难度：中等

已知函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax²+bx+c+2=0的根的情况是（ ）

A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根

5. 难度：中等

不定方程的正整数解的个数是（ ）
A．，1个
B．，2个
C．，3个
D．，4个

6. 难度：中等

一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m=2，n=3
B．m=n=10
C．m+n=5
D．m+n=10

7. 难度：中等

函数y=kx-k+2（k为任意常数）的图象必经过定点（ ）
A．（1，2）
B．（0，2）
C．（1，0）
D．与k的值有关

8. 难度：中等

若t是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b²-4ac和完全平方式M=（2at+b）²的关系是（ ）
A．△=M
B．△＞M
C．△＜M
D．大小关系不能确定

9. 难度：中等

图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x²-2[x]-3=0的解的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是    cm．

12. 难度：中等

如果实数a，b满足条件，|1-2a+b|+2a=-a²-1，则a+b=    ．

13. 难度：中等

已知点P₁（x₁，1921），P₂（x₂，1921）是在二次函数y=ax²+bx+2010的图象上，求二次函数当x=x₁+x₂的值为    ；

=    ．

14. 难度：中等

已知x=，y=，则x⁶+y⁶=    ．

15. 难度：中等

设，则3a³+12a²-6a-12=   
=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

计算：．

17. 难度：中等

已知抛物线Y=x²-（m²+4）x-2m²-12
（1）证明：不论m取什么实数，抛物线必与x有两个交点
（2）m为何值时，x轴截抛物线的弦长L为12？
（3）m取什么实数，弦长最小，最小值是多少？

18. 难度：中等

问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．

19. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=x²在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．
（1）求证：H点为线段AQ的中点；
（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；
（3）除P点外，直线PH与抛物线y=x²有无其它公共点并说明理由．

20. 难度：中等

初中我们学过了正弦 余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°，根据如图，设计一种方案，解决问题：
已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b，BC=a
（1）用b，c及α，β表示三角形ABC的面积S；
（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．