2009年安徽省宣城市广德中学高中自主招生数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知实数a≠b，且满足（a+1）²=3-3（a+1），（b+1）²=3-3（b+1），则的值为（ ）
A．23
B．-23
C．-2
D．-13

2. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，记p=|a-b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a-b|，则p与q的大小关系为（ ）

A．p＞q
B．P=q
C．p＜q
D．p、q大小关系不能确定

3. 难度：中等

已知点I是锐角三角形ABC的内心，A₁，B₁，C₁分别是点I关于BC，CA，AB的对称点，若点B在△A₁B₁C₁的外接圆上，则∠ABC等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

4. 难度：中等

图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

正五边形ABCDE中，已知△ABC面积为1，则这正五边形面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，在等边△ABC中，D、E、F是三边中点．在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形（不计顺序），如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有（ ）

A．120对
B．240对
C．234对
D．114对

二、填空题

7. 难度：中等

已知a，b，c为整数，且a+b=2006，c-a=2005．若a＜b，则a+b+c的最大值为     ．

8. 难度：中等

已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则（a²+b²）xy+ab（x²+y²）=    ．

9. 难度：中等

在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是    ．

10. 难度：中等

将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是   

三、解答题

11. 难度：中等

阅读下列材料：
现给如下定义：以x为自变量的函数用y=f（x）表示，对于自变量x取值范围内的一切值，总有f（-x）=f（x）成立，则称函数y=f（x）为偶函数．用上述定义，我们来证明函数f（x）=x²+1是偶数．
证明：∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x）
∴f（x）是偶函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数
①若f（x）是偶数函数，且，求f（-1）；
②若a=1，求证：f（x）是偶数．

12. 难度：中等

已知AB是圆O的直径，PB切圆O于点B，∠APB的平分线分别交BC、AB于点D、E，交圆O于点F，PA交圆O于点C，∠A=60°，线段AE、BD的长是一元二次方程（k为常数）的两个根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）求证：圆O的直径为k；
（3）求tan∠FPA．

13. 难度：中等

设，求不超过S的最大整数[S]．

14. 难度：中等

某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．
（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？
（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？