2012年上海市宝山区金山区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各式中，正确的是（ ）
A．a²+a²=2a⁴
B．a³-a²=a
C．a²•a³=a⁵
D．（a+b）²=a²+b²

2. 难度：中等

下列各数中，是无理数的为（ ）
A．
B．
C．π
D．cos60°

3. 难度：中等

关于二次函数y=-2x²+1的图象，下列说法中，正确的是（ ）
A．对称轴为直线x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数y=-2x²的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降

4. 难度：中等

已知△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若△ABC和△DEF的周长分别为24、36，又∵BC=8，则下列判断正确的（ ）
A．DE=12
B．EF=12
C．DE=18
D．EF=18

5. 难度：中等

飞机在空中测得地面上某观测目标A的俯角为α，且飞机与目标A相距12千米，那么这时飞机离地面的高度为（ ）
A．12sinα
B．12cosα
C．12tanα
D．12cotα

6. 难度：中等

下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．若（k为实数），则∥
D．若，则或

二、填空题

7. 难度：中等

计算：3^-2=    ．

8. 难度：中等

已知向量、满足，则=    ．（用向量表示）

9. 难度：中等

分解因式：x⁴+x²-2=    ．

10. 难度：中等

已知抛物线y=（1-a）x²+1的顶点是它的最高点，则a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

如图，已知抛物线y=x²，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过点A（1，3），那么平移后的抛物线的表达式是    ．

12. 难度：中等

已知抛物线y=-x²+2x+2的顶点为A，与y轴交于点B，C是其对称轴上的一点，O为原点，若四边形ABOC是等腰梯形，则点C的坐标为    ．

13. 难度：中等

如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，连接AC、DE交于点O．则的值为    ．

14. 难度：中等

已知一个斜坡的坡角为α，坡度为1：3，则cotα的值为    ．

15. 难度：中等

如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC，若BD：DC=1：2，△ABC的面积为9cm²，则四边形AEDF的面积为    cm²．

16. 难度：中等

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若AB=3，CD=1，那么∠A的正弦值为    ．

17. 难度：中等

如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=2DB，AE=EC．若设，，则=    ．（用向量、表示）

18. 难度：中等

已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落在点B’．若点A’在边AB上，则点B、B’的距离为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

先化简，再求值：，其中．

20. 难度：中等

已知，（1）求的值； （2）若，求x值．

21. 难度：中等

已知一个二次函数的图象经过点A（-1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x=1，
（1）求这个函数的解析式；
（2）指出该函数图象的开口方向和顶点坐标，并说明图象的变化情况．

22. 难度：中等

如图，已知△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF=∠C，求证：BF•CE=AB²．

23. 难度：中等

如图，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，长方形DEFG内接于△ABC，点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB、AC上．
（1）设DG=x，长方形DEFG的面积为y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）若长方形DEFG的面积为36，试求这时的值．

24. 难度：中等

据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航．已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10：00巡逻船在A处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的C处有一个不明物体正在向正东方向移动，10：15巡逻船在B处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的D处．若巡逻船的速度是每小时36海里，
（1）试在图中画出点D的大致位置，并求不明物体移动的速度；
（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不变，试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？
[备用数据：sin53.1°=0.8，cos53.1°=0.6，cot53.1°=0.75；sin18.4°=0.32，cos18.4°=0.95，cot18.4°=3；]．

25. 难度：中等

我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．

如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．
（1）如图2，已知斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A（-2，2），并求点O、A之间的距离；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；
（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x、y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．

26. 难度：中等

如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD²是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．