2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a²+b²-c²+2abc（ ）
A．一定是非零偶数
B．等于零
C．一定为奇数
D．可能是奇数，也可能是偶数

2. 难度：中等

已知abc=1，a+b+c=2，a²+b²+c²=3，则的值为（ ）
A．-1
B．
C．2
D．

3. 难度：中等

设x²-px+q=0的两实根为α，β，而以α²，β²为根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，则数对（p，q）的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．0

4. 难度：中等

设函数y=-x²-2kx-3k²-4k-5的最大值为M，为使M最大，k=（ ）
A．-1
B．1
C．-3
D．3

5. 难度：中等

若3x²-x=1，则9x⁴+12x³-2x²-7x+2008=（ ）
A．2011
B．2010
C．2009
D．2008

6. 难度：中等

已知坐标原点O和点A（2，-2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8

7. 难度：中等

如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（ ）

A．11个
B．12个
C．13个
D．14个

8. 难度：中等

锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心

9. 难度：中等

有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（ ）
A．30升
B．40升
C．50升
D．60升

10. 难度：中等

如图，直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）

A．4
B．5
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a²+b²+c²-ab-bc-ca的值等于    ．

12. 难度：中等

Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=    ．

14. 难度：中等

方程的解为    ．

15. 难度：中等

在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有    条．

16. 难度：中等

若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有    个．

17. 难度：中等

如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=    厘米．

三、解答题

18. 难度：中等

已知二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象如图所示．
（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；
（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

20. 难度：中等

已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．