2012年浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程实数根的情况是（ ）
A．仅有三个不同实根
B．仅有两个不同实根
C．仅有一个不同实根
D．无实根

2. 难度：中等

将矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，再把点B叠在折痕MN上，得折痕AE，若AB=，则折痕AE的长为（ ）

A．
B．2
C．
D．2

3. 难度：中等

在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC的度数为（ ）
A．60°
B．75°
C．60°或45°
D．15°或75°

4. 难度：中等

如图，一个半径为3的圆O₁的圆心经过一个半径为3的圆O₂，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．9
C．
D．

5. 难度：中等

已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（ ）
A．
B．
C．1
D．

6. 难度：中等

满足（n²-n-1）ⁿ⁺²=1的整数n有几个（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

7. 难度：中等

如图，双曲线y=（x＞0）与矩形OABC的边BC，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为（ ）

A．1.5
B．2
C．2.5
D．3

8. 难度：中等

若实数a，b满足，则a的取值范围是（ ）
A．a≤-2
B．a≥4
C．a≤-2或a≥4
D．-2≤a≤4

二、填空题

9. 难度：中等

若关于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知：sinα-cosα=，则sinαcosα=       （0＜α＜90°）

11. 难度：中等

双曲线y=（x＞0）与直线y=x在坐标系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若BD=2AC  则4OC²-OD²的值为    ．

12. 难度：中等

二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=    ．

13. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是    cm．

14. 难度：中等

函数y=x+（x＞0）的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=32°，若AD²=BD•CD，求∠ABC的度数．

16. 难度：中等

如图，身高1.5米的小亮AB在路灯CD下的影长为1米，当小亮向远离路灯的方向走出1米后，影长变成了2米．求路灯CD的高．

17. 难度：中等

如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；
（2）．

18. 难度：中等

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：
（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，设BH=x．
①当△CHK的面积为时，求出x的值．
②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知二次函数y=x²+bx-c的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）．
（1）如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．
（2）设二次函数y=x²+bx-c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C．如果关于x的方程x²+bx-c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积．