2012年高中自主招生考试数学模拟试卷2（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若匀速行驶的汽车速度提高40%，则行车时间可节省（ ）%（精确至1%）
A．60
B．40
C．29
D．25

2. 难度：中等

如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个（形状不一定相同的）长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为（ ）

A．1
B．
C．4
D．

3. 难度：中等

已知：，x²+3x为（ ）
A．1
B．-3和1
C．3
D．-1或3

4. 难度：中等

四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且S_△AOB=4，S_△COD=9，则四边形ABCD面积有（ ）

A．最小值12
B．最大值12
C．最小值25
D．最大值25

5. 难度：中等

如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图（1）、图（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）
A．3个球
B．4个球
C．5个球
D．6个球

6. 难度：中等

9人分24张票，每人至少1张，则（ ）
A．至少有3人票数相等
B．至少有4人票数无异
C．不会有5人票数一致
D．不会有6人票数同样

7. 难度：中等

给出一列数，在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（ ）
A．4900
B．4901
C．5000
D．5001

8. 难度：中等

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁，⊙O₂的半径分别为2，1．O₁A为⊙O₂的切线，AB为⊙O₂的直径，O₁B分别交⊙O₁，⊙O₂于C，D，则CD+3PD的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

一只口袋中装有一个红球和2个白球，这些球除了颜色之外没有其它区别，若小红闭上眼睛从袋中随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为    ．

10. 难度：中等

姚明在一次“NBA”常规赛中，22投14中得28分，除了3个3分球全中外，还投中了    个两分球和    个罚球．

11. 难度：中等

半径为10的圆0内有一点P，OP=8，过点P所有的弦中长是整数的弦有    条．

12. 难度：中等

观察下列等式，你会发现什么规律：1×3+1=2²；2×4+1=3²；3×5+1=4²；4×6+1=5²；…请将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来：    ．

13. 难度：中等

设x-y-z=19，x²+y²+z²=19，则yz-zx-xy=    ．

14. 难度：中等

已知反比例函数，其图象所在的每个象限内y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例函数关系式：    ．

15. 难度：中等

如图，6个半径为1的圆围成的弧边六角形（阴影部分）的面积为    ．

16. 难度：中等

已知关于x的方程x²-4x-p²+2p+2=0的一个根为p，则p=    ．

17. 难度：中等

如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为    厘米．

18. 难度：中等

如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边交于点F．若BE=1，EC=2，则sin∠EDC=    ；若BE：EC=m：n，则AF：FB=    （用含有m、n的代数式表示）．

三、解答题

19. 难度：中等

计算：．

20. 难度：中等

计算：[（x+3）²+（x+3）（x-3）]÷2x．

21. 难度：中等

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α=20°（B、C在同一水平线上），求目标C到控制点B的距离（精确到1米）．
（参考数据sin20°=0.34，cos20°=0.94，tan20°=0.36）

22. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC，AE=EC=7，AD=6．
（1）求AB的长；
（2）求EG的长．

23. 难度：中等

“五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？
（2）求出返程途中，s（千米）与时间t（时）的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？
（3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总容量为35升，汽车每行驶1千米耗油升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议．（加油所用时间忽略不计）

24. 难度：中等

如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

25. 难度：中等

设A=x+y，其中x可取-1、2，y可取-1、-2、3．
（1）求出A的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；
（2）试求A是正值的概率．

26. 难度：中等

设△A₁B₁C₁的面积是S₁，△A₂B₂C₂的面积为S₂（S₁＜S₂），当△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，且时，则称△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，连接AC．
（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．

27. 难度：中等

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y₁所在直线的解析式；
（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-x²+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．