2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）
A．直线y=-x上
B．抛物线y=x²上
C．直线y=x上
D．双曲线xy=1上

2. 难度：中等

以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（ ）
A．35
B．30
C．25
D．20

3. 难度：中等

若-1＜a＜0，则一定是（ ）
A．最小，a³最大
B．最小，a最大
C．最小，a最大
D．最小，最大

4. 难度：中等

如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥AF
B．EF：AF=：1
C．AF²=FH•FE
D．FB：FC=HB：EC

5. 难度：中等

在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ）
A．22
B．24
C．36
D．44

6. 难度：中等

某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）
A．30
B．35
C．56
D．448

二、填空题

7. 难度：中等

已知∠A为锐角且4sin²A-4sinAcosA+cos²A=0，则tanA=    ．

8. 难度：中等

在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过    小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．

9. 难度：中等

如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是    ．

10. 难度：中等

桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于     cm．

11. 难度：中等

物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是    ．

12. 难度：中等

设C₁，C₂，C₃，…为一群圆，其作法如下：C₁是半径为a的圆，在C₁的圆内作四个相等的圆C₂（如图），每个圆C₂和圆C₁都内切，且相邻的两个圆C₂均外切，再在每一个圆C₂中，用同样的方法作四个相等的圆C₃，依此类推作出C₄，C₅，C₆，…，则
（1）圆C₂的半径长等于    （用a表示）；
（2）圆C_k的半径为    （k为正整数，用a表示，不必证明）

三、解答题

13. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．
（1）求证：AD=AE；
（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．

14. 难度：中等

已知抛物线y=x²+2px+2p-2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

15. 难度：中等

某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：

	胜一场	平一场	负一场
积分	3	1
奖励（元/每人）	1500	700

当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．
（1）试判断A队胜、平、负各几场？
（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．

16. 难度：中等

已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x-1经过这两个顶点中的一个．
（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；
（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax²+bx+c的顶点是P点．
①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；
②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x-1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．