2012年高中优录考试数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜
B．x≥
C．x＞
D．0＜x＜10

2. 难度：中等

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，一个小立方块所搭的几何体，从不同的方向看所得到的平面图形中（小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数），不正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）

A．15
B．20
C．15+
D．15+

5. 难度：中等

在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个

6. 难度：中等

在平面直角坐标系内，直线y=x+3与两坐标轴交于A、B两点，点O为坐标原点，若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的P点个数为（ ）
A．9个
B．7个
C．5个
D．3个

7. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若t是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b²-4ac和完全平方式M=（2at+b）²的关系是（ ）
A．△=M
B．△＞M
C．△＜M
D．大小关系不能确定

二、填空题

9. 难度：中等

三个同学对问题“若二元一次方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是    ．

10. 难度：中等

二次函数的图象如图所示，点A位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函数位于第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都为等边三角形，则△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长=    ．

11. 难度：中等

如图所示，直线l₁⊥l₂，垂足为点O，A、B是直线l₁上的两点，且OB=2，AB=．直线l₁绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为α（O°＜α＜180°）．当α=60°时，在直线l₂上找出点P，使得△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，此时OP=    ．

12. 难度：中等

某班数学兴趣小组收集了本市4月份30天的日最高气温的数据，经过统计分析获得了两条信息和一个统计表：
信息1：4月份日最高气温的中位数是15.5℃；
信息2：日最高气温是17℃的天数比日取高气温是16℃的天数多4天．
4月份日最高气温统计表

气温/℃	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
天数/天	2	3	*	5	4	*	*	2	2	3

请根据上述信息回答下列问题：
（1）4月份日最高气温是13℃的有    天，16℃的有    天，17℃的有    天；
（2）4月份日最高气温的众数是    ℃，极差是    ℃．

13. 难度：中等

长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为    ．

14. 难度：中等

如图，⊙P与x轴切于点O，点P的坐标为（0，1）．点A在⊙P上，且位于第一象限，∠APO=120°．⊙P沿x轴正方向滚动，当点A第一次落在x轴上时，点A的横坐标为    ．（结果保留π）

三、解答题

15. 难度：中等

2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了不准酒后驾车的禁令．某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来不喝酒；③喝酒后不开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天不喝酒．将这次调查悄况整理并绘制了如下尚不完整的统计图，请根据相关倌息，解答下列问题

（1）该记者本次一共调查了______名司机．
（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙．
（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机．求他属第②种情况的概率．
（4）请估计开车的10万名司机中，不违反“酒驾“禁令的人数．

16. 难度：中等

如图，一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数的图象交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C．
（1）k₁=______，k₂=______；
（2）根据函数图象可知，当y₁＞y₂时，x的取值范围是______；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S_{四边形ODAC}：S_△ODE=3：1时，求点P的坐标．

17. 难度：中等

如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？（参考数据：≈1.73，≈1.41．要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数）

18. 难度：中等

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求sin∠E．

19. 难度：中等

某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：

	空调机	电冰箱
甲连锁店	200	170
乙连锁店	160	150

设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？

20. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax²+bx+c过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．