2011年安徽省蚌埠市普通高中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在-0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（ ）
A．1
B．3
C．6
D．8

2. 难度：中等

如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（ ）

A．5a+8b+9c+8d+5e
B．5a+8b+10c+8d+5e
C．5a+9b+9c+9d+5e
D．10a+16b+18c+16d+10e

3. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（ ）
A．
B．
C．12
D．

5. 难度：中等

给出一列数，在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（ ）
A．4900
B．4901
C．5000
D．5001

6. 难度：中等

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁，⊙O₂的半径分别为2，1．O₁A为⊙O₂的切线，AB为⊙O₂的直径，O₁B分别交⊙O₁，⊙O₂于C，D，则CD+3PD的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

7. 难度：中等

已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx-m一定不通过第     象限．

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=    ．

9. 难度：中等

如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为    ．

10. 难度：中等

分解因式：2m²-mn+2m+n-n²=    ．

11. 难度：中等

如图：四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上．试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B？
（将白球A移动路线画在图上，不能说明问题的不予计分）

12. 难度：中等

有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为    ．

13. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x-2[x]+4=0的解为     ．

14. 难度：中等

如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是     cm．

三、解答题

15. 难度：中等

已知A、B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A、B两地出发，往返于A、B两地之间．如图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计）
①在阅读如图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？
②试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）．

16. 难度：中等

如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．
①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；
②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）

17. 难度：中等

在三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，其中a-b=2，CD⊥AB于D，BD-AD=2，求△ABC三边的长．

18. 难度：中等

按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．
①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．

19. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
①求实数k的值；
②求二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式；
③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；
④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．