2005年安徽省安庆市一中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知两不相等实数m，n满足3m²-hm=b，3n²-hn=b，那么m+n的值等于    ．

2. 难度：中等

分解因式：（x+1）（x+2）（x+3）-6×7×8=    ．

3. 难度：中等

已知（x+y+z）²≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值为    ．

4. 难度：中等

台球和球桌边框碰撞后的路线保持入射角等于反射角．若台球桌面的长方形ABCD的边AB=，BC=2．从BC中点P，延着与CB成60°角方向击球，经BA、AD、DC反弹后，击中BC边P₄处，则CP₄=    ．

5. 难度：中等

AB、CD是⊙O的两条弦，∠AOB与∠C互补，∠COD与∠A相等，则∠AOB的度数是    ．

二、选择题

6. 难度：中等

对于每个x，函数y是y₁=2x，y₂=x+2，这三个函数中的最小值，则函数y的最大值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．

7. 难度：中等

已知圆内两条弦互相垂直，其中一条弦被分成长为4和3两段，另一条弦被分成长为6和2两段，则此圆的直径为（ ）
A．
B．8
C．9
D．

8. 难度：中等

现将1000个小球装入100个盒子中，其中任何10个盒子的球数之和不能超过190，则一个盒子中最多能有小球（ ）
A．108个
B．109个
C．118个
D．119个

9. 难度：中等

四边形ABCD中，BC=8，CD=1，∠ABC=30°，∠BCD=60°，如果，则AB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

对于正实数x和y，定义，那么（ ）
A．“*”符合交换律，但不符合结合律
B．“*”符合结合律，但不符合交换律
C．“*”既不符合交换律，也不符合结合律
D．“*”符合交换律和结合律

三、解答题

11. 难度：中等

如图，⊙O的半径等于R，AB，CD都是⊙O的直径，=120°，P点在上，PA交CD于M，PC交AB于N．
（1）求证OM+ON是一个定值；
（2）写出图中所有的相似三角形．

12. 难度：中等

已知两个二次函数y₁，y₂，当x=m（m＜0）时，y₁取最小值6，y₂=7；又y₂的最小值-5.5；y₁+y₂=x²-3x+9．
（1）求m的值；
（2）求二次函数y₁，y₂的表达式．

13. 难度：中等

有n盏灯排成一排，依次标号1，2，…，n，每盏灯都有一根拉线开关，最初电灯都是关着的．现有n个人，都沿着电灯路线走过，第一个人走过时，把凡是号码是1的倍数的灯的开关拉一下；接着第二个人走过时，把凡是号码是2的倍数的灯的开关拉一下；第三个走过时，把凡是号码是3的倍数的灯的开关拉一下；…；最后，第n个人走过时，把最后那盏灯的开关拉一下．
（1）填空：

n	最后第n个人走过后，哪些亮着灯的号码
10
20

（2）猜想n=100时，最后第100个人走过后，哪些亮着灯的号码．说明你猜想的理由．

14. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．