2010年福建省龙岩市一中对新罗区录取保送生加试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数，有下列结论：①两函数图象交点的坐标为（4，4）；②当x＞4时，y₂＞y₁；③当x逐渐增大时，y₁随着x的增大而增大，y₂随着x的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

2. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．1cm²
B．1.5cm²
C．2cm²
D．3cm²

3. 难度：中等

如图，水平地面上有一面积为的扇形AOB，半径OA=3cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至与三角块BDE接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C，已知∠BCD=30°，则O点移动的距离为（ ）

A．3πcm
B．4πcm
C．
D．5πcm

4. 难度：中等

一张等腰三角形纸片，底边长13cm，底边上的高长为32.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为5cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）

A．第3张
B．第4张
C．第5张
D．第6张

5. 难度：中等

对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：
①（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；
②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac+bd，bc-ad）；
③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）=（a-c，b-d）．
设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（11，2），则（1，2）θ（p，q）（ ）
A．（-2，-2）
B．（3，4）
C．（2，1）
D．（-1，-2）

6. 难度：中等

如图，平面中两条直线l₁和l₂相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l₁和l₂的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：
①“距离坐标”是（0，1）的点有1个；
②“距离坐标”是（5，6）的点有4个；
③“距离坐标”是（a，a）（a为非负实数）的点有4个．
其中正确的有（ ）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

父亲每天都爱带报纸去上班，父亲离开家的时间记为x，送报人来的时间记为y，若7：00≤x≤8：00，7：30≤y≤8：30，则父亲能拿到报纸上班的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A、B两组，两组都不能放空，要使得B组中最小的数比A组中最大的数都大，则有（ ）种分配方法．
A．44
B．49
C．51
D．32

二、填空题

9. 难度：中等

若x，y为实数，且，则=    ．

10. 难度：中等

如果x+=2，则=    ．

11. 难度：中等

满足2^2x+1-3•2^x+1+4=0的x的值为     ．

12. 难度：中等

若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

有一组数满足a₁=1，a₂=2，a₃-a₁=0，a₄-a₂=2，a₅-a₃=0，a₆-a₄=2，…，按此规律进行下去，则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=    ．

14. 难度：中等

五个学生每人写了一张贺卡，交给老师，老师将这五张贺卡随机分给这五个学生，若大家拿到的贺卡都不是自己写的，则有    种不同的分法．

15. 难度：中等

二次函数y=x²+2ax+a在-1≤x≤2上有最小值-4，则a的值为     ．

16. 难度：中等

三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则这个三位数是偶数的概率是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

先化简，再求值：，其中x=2-．

18. 难度：中等

某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．
（1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最大实惠，每台彩电应降价多少元？
（2）每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？

19. 难度：中等

根据有理数的除法符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，求不等式的解集．

20. 难度：中等

已知二次函数y=x²-2mx+m²-4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D．
（1）当点D在y轴正半轴时，是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（2）当m=-1时，将函数y=x²-2mx+m²-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω．当直线与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE=2，BD=4，求AE的长．

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且，sin∠OAB=，
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O，点A分别变换为点Q（-2k，0），点R（5k，0）（k＞1的常数），设过Q，R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S_△QNM，△QNR的面积为S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．