2012年浙江省杭州市中考数学模拟试卷（26）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2和
B．sin30°和
C．和
D．2^-1和

2. 难度：中等

人民商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：

色	黄色	绿色	白色	紫色	红色
数量（件）	100	180	220	80	520

经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差

3. 难度：中等

从分别写有数字：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值＜2的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

5. 难度：中等

若点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）和（x₃，y₃）分别在反比例函数的图象上，且x₁＜x₂＜0＜x₃，则下列判断中正确的是（ ）
A．y₁＜y₂＜y₃
B．y₃＜y₁＜y₂
C．y₂＜y₃＜y₁
D．y₃＜y₂＜y₁

6. 难度：中等

下列四个命题：（1）如果一条直线上的两个不同的点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行；（2）反比例函数的图象是轴对称图形，且只有一条对称轴；（3）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角等于75°；（4）相等的圆周角所对的弧相等．其中错误的命题有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

7. 难度：中等

不等式组（x为未知数）无解，则函数图象与x轴（ ）
A．相交于两点
B．没有交点
C．相交于一点
D．相交于一点或没有交点

8. 难度：中等

如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积记为S．点N是正方形ABCD内任一点，把N点到四个顶点A，B，C，D的距离均不小于1的概率记为P，则S=（ ）

A．（4-π）P
B．4（1-P）
C．4P
D．（π-1）P

10. 难度：中等

如图已知A₁，A₂，A₃，…A_n是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=…=A_n-1A_n=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…A_n′作x轴的垂线交二次函数y=x²（x＞0）的图象于点P₁，P₂，P₃，…Pn，若记△OA₁P₁的面积为S₁，过点P₁作P₁B₁⊥A₂P₂于点B₁，记△P₁B₁P₂的面积为S₂，过点P₂作P₂B₂⊥A₃P₃于点B₂，记△P₂B₂P₃的面积为S₃，…依次进行下去，最后记△P_n-1B_n-1P_n（n＞1）的面积为S_n，则S_n=（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=中，自变量x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于C、D两点，AC=CD=DB，分别以C、D为圆心，以CD为半径作圆．若AB=6cm，则图中阴影部分的面积为    cm²．

13. 难度：中等

刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a²+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到3²+（-2）-1=6．现将实数对（-1，3）放入其中，得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到实数是    ．

14. 难度：中等

如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S_△APD=15cm²，S_△BQC=25cm²，则阴影部分的面积为    cm²．

15. 难度：中等

如图，⊙P过O、A（0，6）、C（2，0），半径PB⊥PA，双曲线恰好经过B点，则k的值是    ．

16. 难度：中等

已知直线l：y=-x+（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线l₂：y=-x+与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂；…依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．则S₁=    ．S₁+S₂+S₃…+S_n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；  
第2个数：；
第3个数：；
…；
（1）分别计算这三个数的结果（直接写答案）
（2）写出第2010个数的形式（中间部分用省略号，两端部分必须写详细），然后推测出结果．

18. 难度：中等

阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（5+i）×（3-4i）=19-17i．
（1）填空：i³=______，i⁴=______．
（2）计算：（3+i）²；
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．

19. 难度：中等

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D（如图1），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有：，，所以
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=______；AC=______

20. 难度：中等

问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．

21. 难度：中等

如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

22. 难度：中等

操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的长度．

23. 难度：中等

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（2，m），B（-3，n）为两动点，其中m＞1，连接OA，OB，OA⊥OB，作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点．
（1）求证：mn=6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S_△POF：S_△QOF=1：2？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．