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2007年浙江省宁波市余姚中学自主招生考试数学试卷(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等
在我们的周围,有很多美丽的图案,下面是一些汽车的标志,请欣赏下面标志,并注意分析其中是中心对称图形的是( )
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2. 难度:中等
如图,宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成,其中一个小长方形的面积为( )
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A.400cm2
B.500cm2
C.600cm2
D.4000cm2
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3. 难度:中等
在直角坐标系中,⊙O的圆心在原点,半径为3,⊙A的圆心A的坐标为(-manfen5.com 满分网,1),半径为1,那么⊙O与⊙A的位置关系是( )
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切
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4. 难度:中等
如图,要判断△ABC的面积是△DBC的面积的几倍,只有一把仅有刻度的直尺,需要度量的次数最少是( )
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A.3次以上
B.3次
C.2次
D.1次
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5. 难度:中等
若x2-3x+1=0,则manfen5.com 满分网的值是( )
A.8
B.7
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6. 难度:中等
若对0<x<3上的一切实数x,不等式(m-2)x<2m-1恒成立,则实数m的取值范围是( )
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7. 难度:中等
如图:四边形ABMN,BCPQ是四角都是直角的全等四边形(AB≤BC),点R在线段AC上移动,则满足∠NRP=90°的点R的个数是( )
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A.1个
B.2个
C.1个或2个
D.无数多个
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8. 难度:中等
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴交于点(1,0),则化简二次根式manfen5.com 满分网的结果是( )
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A.a+b
B.-a-b
C.a+3b
D.-a-3b
二、填空题
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9. 难度:中等
如图,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b),再把剩余的部分剪拼成一个矩形,通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式是   
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10. 难度:中等
已知整数对序列(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),…,则第30对数为   
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11. 难度:中等
在中国古代诗词中,有很多诗句体现了数学的某些意境,如“明月松间照,清泉石上流”体现了对称的意境;“孤帆远影碧空尽,惟见长江天际流”体现了极限(或无限)的意境,请你再举出一例并说明其蕴涵的数学意义:   
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12. 难度:中等
如果定义manfen5.com 满分网,那么manfen5.com 满分网=   
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13. 难度:中等
如图甲,圆的一条弦将圆分成2部分;如图乙,圆的两条弦最多可将圆分成4部分;如图丙,圆的三条弦最多可将圆分成7部分.由此推测,圆的n条弦最多可将圆分成   
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14. 难度:中等
如图,等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠A=60°,AD=DC=10,点E,F分别在AD,BC上,且AE=4,BF=x,设四边形DEFC的面积为y,则y关于x的函数关系式是    (不必写自变量的取值范围).
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三、解答题
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15. 难度:中等
若方程组manfen5.com 满分网与方程组manfen5.com 满分网有相同的解,求a,b的值.
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16. 难度:中等
如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?

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17. 难度:中等
已知正比例函数y=x和反比例函数manfen5.com 满分网的图象(如图),请你画出函数manfen5.com 满分网的大致图象,并用文字说明所画图象的特征.
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18. 难度:中等
求函数y=2x2-ax+1当0≤x≤1时的最小值.
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19. 难度:中等
甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度u行走,另一半时间以速度v行走;乙有一半路以速度u行走,另一半路以速度v行走.如果u≠v,问甲、乙两人谁先到达指定地点?并说明理由.
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20. 难度:中等
如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于A、B两点,O为坐标原点,A点的坐标为(3,0),若P为y轴(B点除外)上的一点,过P作PC⊥y轴交直线AB于C,设线段PC的长为l,点P的坐标为(0,m).
(1)如果点P在线段BO(B点除外)上移动,求l与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(2)如果点P在射线BO(B、O两点除外)上移动,求当m为何值时,S△APC=2.

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21. 难度:中等
如图,已知ABCD是圆O的内接四边形,AB=BD,BM⊥AC于M,求证:AM=DC+CM.

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22. 难度:中等
设a>b>0,且a+b+c=0,抛物线y=ax2+2bx+c被x轴截得的弦长为l,求l的取值范围.
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