2007年浙江省宁波市余姚中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在我们的周围，有很多美丽的图案，下面是一些汽车的标志，请欣赏下面标志，并注意分析其中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）

A．400cm²
B．500cm²
C．600cm²
D．4000cm²

3. 难度：中等

在直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为3，⊙A的圆心A的坐标为（-，1），半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系是（ ）
A．内含
B．内切
C．相交
D．外切

4. 难度：中等

如图，要判断△ABC的面积是△DBC的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是（ ）

A．3次以上
B．3次
C．2次
D．1次

5. 难度：中等

若x²-3x+1=0，则的值是（ ）
A．8
B．7
C．
D．

6. 难度：中等

若对0＜x＜3上的一切实数x，不等式（m-2）x＜2m-1恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图：四边形ABMN，BCPQ是四角都是直角的全等四边形（AB≤BC），点R在线段AC上移动，则满足∠NRP=90°的点R的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．1个或2个
D．无数多个

8. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，它与x轴交于点（1，0），则化简二次根式的结果是（ ）

A．a+b
B．-a-b
C．a+3b
D．-a-3b

二、填空题

9. 难度：中等

如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是    ．

10. 难度：中等

已知整数对序列（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），…，则第30对数为    ．

11. 难度：中等

在中国古代诗词中，有很多诗句体现了数学的某些意境，如“明月松间照，清泉石上流”体现了对称的意境；“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”体现了极限（或无限）的意境，请你再举出一例并说明其蕴涵的数学意义：    ．

12. 难度：中等

如果定义，那么=    ．

13. 难度：中等

如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成7部分．由此推测，圆的n条弦最多可将圆分成    ．

14. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=60°，AD=DC=10，点E，F分别在AD，BC上，且AE=4，BF=x，设四边形DEFC的面积为y，则y关于x的函数关系式是    （不必写自变量的取值范围）．

三、解答题

15. 难度：中等

若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值．

16. 难度：中等

如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？

17. 难度：中等

已知正比例函数y=x和反比例函数的图象（如图），请你画出函数的大致图象，并用文字说明所画图象的特征．

18. 难度：中等

求函数y=2x²-ax+1当0≤x≤1时的最小值．

19. 难度：中等

甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度u行走，另一半时间以速度v行走；乙有一半路以速度u行走，另一半路以速度v行走．如果u≠v，问甲、乙两人谁先到达指定地点？并说明理由．

20. 难度：中等

如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于A、B两点，O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），若P为y轴（B点除外）上的一点，过P作PC⊥y轴交直线AB于C，设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m）．
（1）如果点P在线段BO（B点除外）上移动，求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（2）如果点P在射线BO（B、O两点除外）上移动，求当m为何值时，S_△APC=2．

21. 难度：中等

如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．

22. 难度：中等

设a＞b＞0，且a+b+c=0，抛物线y=ax²+2bx+c被x轴截得的弦长为l，求l的取值范围．