2012年北京市第四十一中学中考数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

将抛物线y=2x²向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2（x-3）²+2
B．y=2（x+3）²+2
C．y=2（x+3）²-2
D．y=2（x-3）²-2

3. 难度：中等

抛物线y=（x+1）²+2的对称轴为（ ）
A．直线x=1
B．直线x=-1
C．直线x=2
D．直线x=-2

4. 难度：中等

若△ABC∽△DEF，AD：DE=2：1且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（ ）
A．4
B．16
C．8
D．32

5. 难度：中等

若方程x²-5x=0的一个根是a，则a²-5a+2的值为（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4

6. 难度：中等

如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到的△AB′C′，则∠BAC′等于（ ）

A．60°
B．105°
C．120°
D．135°

7. 难度：中等

如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A₁B₁C₁（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）

A．（-3，-4）
B．（-3，-3）
C．（-4，-4）
D．（-4，-3）

8. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC²，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为    ．

10. 难度：中等

△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长=    ．

11. 难度：中等

如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′=    ，∠APB=    度．

12. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：（1）4a-b=0；（2）a-b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③a+b+c＜0；④，其中所有正确结论的序号是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：2sin45°+sin60°-cos30°+tan²60°．

14. 难度：中等

已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式．

15. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最小整数，求此时方程的根．

16. 难度：中等

如图，在△ACD中，B为AC上一点，且∠ADB=∠C，AC=4，AD=2，求：AB的长．

17. 难度：中等

2009年4月7日国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009～2011年》．某市政府决定2009年用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元，并计划2011年提高到7260万元．若从2009年到2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009年到2011年的平均增长率．

18. 难度：中等

已知：正方形ABCD，GF∥BE，求证：EF•AE=BE•EC．

19. 难度：中等

市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

20. 难度：中等

对于抛物线 y=x²-4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

x	…						…
y	…						…

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x²-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是______．

21. 难度：中等

已知：在Rt△ABC，∠C=90°，D是BC边的中点，DE⊥AB于E，tanB=，AE=7，求DE．

22. 难度：中等

右边两图是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF，要求把它们分别割成三个三角形，使分得的三个三角形互相没有重叠部分，并且△ABC中分得的三个三角形和△DEF中分得的三个小三角形分别相似，请画出两个三角形中的分割线，标出分割得到的小三角形中两个角的度数．

23. 难度：中等

已知，如图，D为△ABC内一点连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，BE、
CE交于E，连接DE．
（1）求证：；
（2）求证：△DBE∽△ABC．

24. 难度：中等

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是正三角形．动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
（1）求证：△BMP∽△CPQ；
（2）设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

25. 难度：中等

如图①，已知抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第三象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．