2012年四川省成都市大弯中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列计算正确的是（ ）
A．2a²•a³=2a⁶
B．（3a²）³=9a⁶
C．a⁶÷a²=a³
D．（a^-2）³=a^-6

2. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）为反比例函数（k＞1）图象上的三点，且x₁＜0＜x₂＜x₃，比较y₁、y₂、y₃的大小（ ）
A．y₁＜y₂＜y₃
B．y₁＞y₂＞y₃
C．y₁＜y₃＜y₂
D．y₁＜y₂＜y₃

3. 难度：中等

如果不等式的解集x＞-1，那么m的值是（ ）
A．3
B．1
C．-1
D．-3

4. 难度：中等

抛物线y=（1+x）（3-x）
A．有最大值3
B．有最小值-3
C．有最大值4
D．有最小值4

5. 难度：中等

如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（ ）
A．10cm
B．11cm
C．12cm
D．13cm

6. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的有交点，下列结论：①b＜0；②b²-4ac=0；③c＜0；④a-b＜0．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④

7. 难度：中等

已知三角形ABC其内切圆O与边AB交于D，若AD-BD=-5，则AC-BC=（ ）

A．10
B．5
C．-5或5
D．-5

8. 难度：中等

如图（单位：m），直角梯形ABCD以2m/s的速度沿直线l向正方形CEFG方向移动，直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的函数图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知mn＜0且1-m＞1-n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

相邻两边不等的长方形ABCD，中心为O．在点A，B，C，D，O五个点构成的三角形中，任取两个三角形，面积相等的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数中x的范围为    ．

12. 难度：中等

设a，b，c满足b²+c²=2a²+16a+14及bc=a²-4a-5，则a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

若规定：①{m}表示大于m的最小整数，例如：{3}=4，{-2.4}=-2；②[m]表示不大于m的最大整数，例如：[5]=5，[-3.6]=-4，则使等式2{x}-[x]=4成立的整数x=    ．

14. 难度：中等

如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为    ．

15. 难度：中等

用你发现的规律解答下列问题．
┅┅
（1）计算=    ．
（2）探究=    ．（用含有n的式子表示）
（3）的值为，n=    ．
（4）求=    ．（用含有n的式子表示）

三、解答题

16. 难度：中等

（1）计算：
（2）解分式方程：．

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点M是AB上的动点（不与A，B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

18. 难度：中等

关于x的方程有两个实数根．（包括两个相等实数根）
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
（3）若y=k（3+k）（x₁+x₂），k为自变量，用k表示y并求y的最大值．

19. 难度：中等

青白江为了在樱花节期间做好气候工作服务，某天，据某气象中心观察和预测：发生于青白江正北方的M地的一片雷雨云一直向正南方向移动，其移动速度V（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，O）作横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内雷雨云所经过的路程S（km）．
（1）当t=4时，求S的值；
（2）将S随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若青白江距M地650km，试判断这场雷雨云是否会影响到青白江城，如果会，在雷雨云发生后多长时间它将影响到青白江？如果不会，请说明理由．

20. 难度：中等

已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若此抛物线过点A（0，3），B（1，0），C（3，0），在此抛物线上有一点P，使它到BC的距离为，求P点坐标；
（Ⅳ）若a+b+c=0，且x₁=0时，对应的y₁＞0；x₂=1时，对应的y₂＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．