2009年四川省成都市蒲江中学自主招生数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若是方程mx-2m+2=0的根，则x-m的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

2. 难度：中等

设x为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依此类推，现有一位顾客第一次就用了16 000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于它们原价的（ ）
A．90%
B．85%
C．80%
D．75%

4. 难度：中等

横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y=的图象上整点的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个

5. 难度：中等

如图，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，对角线AC⊥BD，锐角∠ABC=α，则该梯形的面积是（ ）

A．2msinα
B．m²（sinα）²
C．2mcosα
D．m²（cosα）²

6. 难度：中等

如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）

A．2π
B．4π
C．2
D．4

7. 难度：中等

设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为u＜v）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（ ）
A．T=t
B．T＜t
C．T＞t
D．不能确定T、t的大小关系

8. 难度：中等

已知a、b、c为正实数，且满足===k，则一次函数y=kx+（1-k）的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限

9. 难度：中等

一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）

A．20分钟
B．22分钟
C．24分钟
D．26分钟

10. 难度：中等

如图是两户居民家庭全年各项支出的统计图，根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）

A．甲户比乙户大
B．乙户比甲户大
C．甲，乙两户一样大
D．无法确定哪一户大

11. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）

A．
B．1-
C．-1
D．1-

12. 难度：中等

一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i个面
（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为x_i，则x₁、x₂、x₃之间的关系为（ ）

A．x₁-x₂+x₃=1
B．x₁+x₂-x₃=1
C．x₁+x₃-x₂=2
D．x₁-x₃+x₂=2

二、填空题

13. 难度：中等

已知=3，则代数式的值为    ．

14. 难度：中等

已知，在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=5cm，GC=12cm，则BG=    ．

15. 难度：中等

已知方程组的解为且|k|＜2，则a-b的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知函数y=x²+2（a+2）x+a²的图象与x轴有两个交点，且都在x轴的负半轴上，则a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

阅读理【解析】

符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad-bc，例如=3×6-4×5=18-20=-2，请根据阅读理解化简下面的二阶行列式：=    ．

18. 难度：中等

方程…的解是    ．

19. 难度：中等

如果a²+11a+16=0，b²+11b+16=0（a≠b），那么的值等于    ．

20. 难度：中等

阅读理【解析】
对于任意正实数a、b，∵≥0，∴≥0，∴a+b≥，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a=b时，a+b有最小值．
根据上述内容，回答：若m＞0，只有当m=    时，有最小值    ．

三、解答题

21. 难度：中等

（1）把 x³+2x²y+y³+2xy²在实数范围内因式分解；
（2）已知，求代数式+-2（cos30°）²的值．

22. 难度：中等

如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；
（2）求标杆EF的影长．

23. 难度：中等

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，动点P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直线PA、PB分别交⊙O₁于C、D，问：⊙O₁的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．

24. 难度：中等

如图，函数的图象交y轴于M，交x轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．

（1）试求S与t之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S=a（a＞0）的点P的个数．

25. 难度：中等

如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB=4．
（1）求点B，P，C的坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）若二次函数y=-x²+（a+1）x+6的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y=2x+b值的x的取值范围．

26. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．