2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

的值在（ ）
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间

2. 难度：中等

的平方根与的差等于（ ）
A．6
B．6或-12
C．-6或12
D．0或-6

3. 难度：中等

若x²=4，|y|=3，xy＜0，则x-y的值为（ ）
A．5或-5
B．1或-1
C．5或1
D．-5或-1

4. 难度：中等

在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（ ）
A．9
B．13
C．9或13
D．10或12

5. 难度：中等

已知函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax²+3x-b=0的根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有一个正根一个负根
C．有两个负根
D．没有实根

6. 难度：中等

如图，已知∠ABC=41°，一束光线从BC上的D点发出，经BA反射后，反射光线EF恰好与BC平行，则∠EDC=（ ）

A．82°
B．86°
C．88°
D．90°

7. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，分别以A、C为圆心，为半径作圆，则阴影部分的周长为（ ）
A．48
B．8+
C．8+5π
D．96-25π

8. 难度：中等

如图，是用图象法解某二元一次方程组的图象，则这个二元一次方程组是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm²，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在圆O中有折线ABCO，BC=12，CO=7，∠B=∠C=60°，则AB的长为（ ）

A．17
B．18
C．19
D．20

11. 难度：中等

在两行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别刻有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．如图，现从左上角一格翻动到右下角一格，则骰子最终朝上的点数不可能是（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

12. 难度：中等

现有2011个人排队，第一个人站在点P₁（1，1），第二个人站在点P₂（2，1）…，第k个人站在点P_k（x_k，y_k），当k≥2，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[0.6]=0，[1.9]=1，照此站下去，第2011个人站的点的坐标是（ ）
A．（5，2011）
B．（2011，1）
C．（2，402）
D．（1，403）

二、填空题

13. 难度：中等

已知方程组，张三看错了a，得到的解是；而李四看错了b，得到的解是，那么原方程组的正确的解是    ．

14. 难度：中等

关于x的不等式（2a-b）x-3a+2b＞0的解集是x＜，则不等式ax+b＞0的解集是    ．

15. 难度：中等

如图，某人工湖两侧各有一个凉亭A、B，现测得AC=70m，BC=30m，∠ABC=120°，则AB=    ．

16. 难度：中等

有一列数a₁、a₂、a₃、…、a_n，从第二个数开始，每一个数等于1与它前面那个数的倒数的差，若a₁=2，则a₂₀₁₄=    ．

17. 难度：中等

桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由    个这样的正方体组成．

18. 难度：中等

对于x＞0，规定f（x）=，例如f（2）=，f（）=，那么f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=    ．

三、解答题

19. 难度：中等

先化简，再求值：3xy-．其中x=4sin45°-2cos60°，y=．

20. 难度：中等

如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；
（2）求证：A′E=CE．

21. 难度：中等

如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交
AD于F．
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=，求△ABF的面积．

22. 难度：中等

某县组织30辆汽车装运甲、乙、丙三种苹果到外地销售．要求同一辆汽车只能装同一种苹果，且30辆汽车都必须装满，这样每次总共装运150吨．根据下表提供的信息，解答以下问题：

苹果品种	甲	乙	丙
每辆汽车运载量（吨）	6	5	4
每吨苹果获利（百元）	12	16	10

（1）设运甲、乙两种苹果的车辆数分别为x、y，求y与x之间的函数关系式；
（2）若运每种苹果的车辆数都不少于6辆，那么车辆安排方案有几种？写出每种安排方案；
（3）若要使这次销售获利最大，应采用哪种方案？并求出利润的最大值．

23. 难度：中等

如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，AD=，DC=5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG=60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线FG与圆O的位置关系，并说明理由．

24. 难度：中等

已知函数y₁=x，y₂=x²+mx+n，x₁、x₂是方程y₁=y₂的两个实根，点P（s，t）在函数y₂的图象上．
（1）若x₁=2，x₂=4，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，当0≤s≤6时，求t的取值范围；
（3）当0＜x₁＜x₂＜1，0＜s＜1时，试确定t，x₁，x₂三者之间的大小关系．

25. 难度：中等

如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB为直径作圆R，过抛物线上一点P作直线PD切圆R于D，并与圆R的切线AE交于点E，连接DR并延长交圆R于点Q，连接AQ，AD．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若四边形EARD的面积为4，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EARD的面积等于△DAQ的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．