2012年浙江省宁波市余姚中学自主招生数学模拟试卷（一）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥BA，若⊙O的半径为，则DE的长为（ ）

A．
B．
C．-1
D．

2. 难度：中等

如果x、y是非零实数，使得，那么x+y等于（ ）
A．3
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD⊥BE，那么a：b：c=（ ）
A．1：2：3
B．3：2：1
C．
D．

4. 难度：中等

已知：m²+n²+mn+m-n=-1，则的值等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

5. 难度：中等

如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB=6cm，BC=4cm，则⊙O的直径为（ ）

A．cm
B．cm
C．13cm
D．cm

6. 难度：中等

若a，b为方程x²-6x+7=0的两个根，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A．2-1
B．4-2
C．3-2
D．2-2

8. 难度：中等

如图，正ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥AC，连AP、BP、CP，如果S_△AFP+S_△PCD+S_△BPE=，那么△ABC的内切圆半径为（ ）

A．1
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落在函数y=ax²（a＜0）的图象上，则a的值为（ ）

A．
B．-1
C．
D．

10. 难度：中等

已知在△ABC中，∠BAC=90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN．△ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q，则=（ ）
A．1
B．0.5
C．2
D．1.5

二、填空题

11. 难度：中等

计算：=    ．

12. 难度：中等

[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a-[a]，设a=，b=，则a²+（1+）ab=    ．

13. 难度：中等

在四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=3，BC=4，CD=5，则此四边形的面积是    ．

14. 难度：中等

如图AB=BC=CA=AD=，AH⊥CD于H，AP=，则BD=    ．

15. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为    ．

16. 难度：中等

已知关于x的二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为12和4；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和6，那么=    ．

17. 难度：中等

如图所示：AP、PB、AB分别是三个半圆的直径，PQ⊥AB，面积为9π的圆O与两个半圆及PQ都相切，而阴影部分的面积是39π，则AB的长是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，求实数m的值．

19. 难度：中等

当-1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x²-4ax+a²+2a+2的最小值，并求最小值为-1时，a的所有可能的值．

20. 难度：中等

由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元．如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元．
（1）一月Iphone4手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？

21. 难度：中等

已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正三角形ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长．

22. 难度：中等

如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax²+2x与x轴相交于点B，O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．