2011年福建省福州一中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是（ ）

A．a＜c
B．b＜c
C．4a²+b²=c²
D．a²+b²=c²

2. 难度：中等

下列计算：①；②2a²×3a³=6a⁶；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：

捐款数（万元）	5	10	20	50
人数（人）	1	2	3	2

设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是（ ）
A．a=b＜c
B．a＜b＜c
C．a=b＞c
D．a=b=c

4. 难度：中等

如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）

A．（2，0）
B．（2，1）
C．（1，2）
D．无法确定

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）

A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

定义：直线l₁与l₂相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l₁、l₂的距离分别为p、q，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

7. 难度：中等

化简的结果为    ．

8. 难度：中等

如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，AC=2米，则DE的高度为     米．（墙面垂直地面）

9. 难度：中等

若实数a，b满足a+b²=1，则a²+4b²的最小值是    ．

10. 难度：中等

如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于    ．

11. 难度：中等

下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）ⁿ（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）⁶展开式中所缺的系数．
（a+b）=a+b
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
则（a+b）⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+    a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．

12. 难度：中等

三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，点C恰好落在AE上，记为点F．
（Ⅰ）求证：△ADF≌△EAB；
（Ⅱ）若AD=10，tan∠EDF=，求矩形ABCD的面积．

14. 难度：中等

如图，双曲线与直线l：y=-kx+b（k＞0，b＞0）有且只有一个公共点A，AC⊥x轴于C，直线l交x轴于点B．
（Ⅰ）求点A的横坐标；
（Ⅱ） 已知△ABC的面积等于1，若有一动点从原点开始移动，假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l上的概率．

15. 难度：中等

已知二次函数y=ax²-2ax+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B两点，其顶点为M．
（Ⅰ）根据图象，解不等式ax²-2ax+c＞0；
（Ⅱ）若点D（-3，6）在二次函数的图象上，试问：线段OB上是否存在N点，使得∠ADB=∠BMN？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．