2009年四川省南充高中高一新生入学考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a为常数，多项式y²+3y-a中含有因式y-3，则a=（ ）
A．6
B．-6
C．18
D．-18

2. 难度：中等

已知x²-5x-2009=0，则的值为（ ）
A．2010
B．2011
C．2012
D．2013

3. 难度：中等

当m＜-2时，关于x，y的方程组的实数解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，记p=|a-b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a-b|，则p与q的大小关系为（ ）

A．p＞q
B．P=q
C．p＜q
D．p、q大小关系不能确定

5. 难度：中等

（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=-x²+4x上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知一个三角形中两边长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长m的取值范围为（ ）
A．3b＜m＜3a
B．2a＜m＜2（a+b）
C．a+2b＜m＜2b+a
D．2b+a＜m＜3a-b

7. 难度：中等

如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S₁、S₂，那么S₁、S₂的大小关系是（ ）

A．S₁＞S₂
B．S₁=S₂
C．S₁＜S₂
D．S₁、S₂的大小关系不确定

8. 难度：中等

锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么m：n：p等于（ ）
A．
B．a：b：c
C．cosA：cosB：cosC
D．sinA：sinB：sinC

9. 难度：中等

如果方程（x-a）（x-b）=1的两根为α，β．那么方程（x-α）（x-β）=-1的两根的平方和为（ ）
A．a²+b
B．a+b²
C．a²+b²
D．a²+b+b²

10. 难度：中等

某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为（ ）
A．（5，2009）
B．（6，2010）
C．（3，401）
D．（4，402）

二、填空题

11. 难度：中等

已知+b²+2b+1=0，则a²⁰⁰⁸+b²⁰⁰⁹=    ．

12. 难度：中等

若t是方程x²-3x+1=0的一个根，则t²-2t+=    ．

13. 难度：中等

如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是    cm．

14. 难度：中等

设A（x₁，2012），B（x₂，2012）是二次函数y=ax²+bx+2009（a≠0）的图象上的两点，则当x=x₁+x₂时二次函数的值为    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=    时，AC+BC的值最小．

16. 难度：中等

如图，⊙O₁和⊙O₂的半径分别是1和2，连接O₁O₂，交⊙O₂于点P，O₁O₂=5，若将⊙O₁绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O₁与⊙O₂共相切    次．

17. 难度：中等

如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有    个．

18. 难度：中等

如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则S_n=    S_△ABC（用含n的代数式表示）．

三、解答题

19. 难度：中等

（1）化简：（+）÷•
（2）解方程组．

20. 难度：中等

已知方程x²+（m+1）x-3=0和方程x²-4x-m=0有一个公共根，求这两个非公共根的和．

21. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

22. 难度：中等

已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE•GB=4-2，求正方形ABCD的面积．

23. 难度：中等

如图，已知直线y=-m（x-4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．
（1）证明：∠MCN=90°；
（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；
（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．

24. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-x-10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．