2010年福建省厦门一中中美班招生数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列计算正确的是（ ）
A．a+2a²=3a
B．a³•a²=a⁶
C．a³÷a⁴=a^-1（a≠0）
D．（a³）²•a=a⁶

2. 难度：中等

下列调查中，适合用普查方法的是（ ）
A．电视机厂要了解一批显象管的使用寿命
B．要了解你校数学教师的年龄状况
C．要了解我市学生每天晚上写作业的时间
D．要了解我市居民的环保意识

3. 难度：中等

一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示），此时，它所看到的全身像是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，则sinA的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．

5. 难度：中等

方程x²+4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根

6. 难度：中等

一个矩形面积为9，则这个矩形的一组邻边长x与y的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c图象如图所示，下列关于a、b、c关系判断正确的是（ ）

A．ab＜0
B．bc＜0
C．a-b+c＜0
D．a+b+c＞0

二、填空题

8. 难度：中等

9的平方根是    ．

9. 难度：中等

分解因式：a³-a=    ．

10. 难度：中等

下列命题：①对顶角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③两直线平行，同位角相等；④菱形的对角线互相垂直．其中逆命题为真命题的有：    ．（请填上所有符合题意的序号）

11. 难度：中等

如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，已知∠P=50°，则∠ACB=    度．

12. 难度：中等

如图，点G是△ABC的重心，且△ABC的面积为9cm²，则△ABG的面积为    cm²．

13. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得到的几何体的侧面积是    cm²．

14. 难度：中等

已知α，β是方程x²+2x-5=0的两个实数根，则α²+αβ+2α的值为    ．

15. 难度：中等

一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有    个黑球．

16. 难度：中等

如图，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是    （结果不取近似数）

17. 难度：中等

在Rt△ABC，∠A=90°，AB=6，AC=8，以斜边BC的中心为旋转中心，把△ABC逆时针方向旋转90°至△DEF，则重叠部分的面积是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

（1）计算：sin30°+2^-1-（-1）+|-2|．
（2）化简并求值：，其中．
（3）解方程．

19. 难度：中等

A口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1和2；B口袋中装有3个小球，它们分别标有数字3，4和5．每个小球除数字外都相同．甲、乙两人玩游戏，从A，B两个口袋中随机地各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若和为奇数，则乙赢．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．

20. 难度：中等

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=14，
（1）若∠B=60°，求这个梯形的周长；
（2）若tanB=．求这个梯形的面积．

21. 难度：中等

某航运公司年初用120万元购进一艘运输船，在投入运输后，每一年的总收入为72万元，需要支出的各种费用为40万元．
（1）问：该船运输几年后开始盈利（盈利即指总收入减去购船费及所有支出费用之差为正值）？
（2）若该船运输满15年要报废，报废时旧船卖出可收回20万元，求这15年的年平均盈利额（精确到0.1万元）．

22. 难度：中等

已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2．
（1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
（2）探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由．

23. 难度：中等

已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

24. 难度：中等

如图，直线y=-2x+8与两坐标轴分别交于P，Q两点，在线段PQ上有一点A，过点A分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．
（1）若四边形ABOC的面积为6，求点A的坐标．
（2）有人说，当四边形ABOC为正方形时，其面积最大，你认为正确吗？若正确，请给予证明；若错误，请举反例说明．

25. 难度：中等

已知一次函数y=x+m（O＜m≤1）的图象为直线l，直线l绕原点O旋转180°后得直线l′，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-，-1）、B（，-1）、C（O，2）．
（1）求直线l′的解析式（可以含m）；
（2）如图，l、l′分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；
（3）若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=x平移时，判断△ABC介于直线l，l′之间部分的面积是否改变？若不变请指出来；若改变请直接写出面积变化的范围．（本小题不必说明理由）

26. 难度：中等

已知函数y=x²+（b-1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0）和B（x₂，0）．若x₁，x₂满足x₂-x₁＞1；
（1）求证：b²＞2（b+2c）；
（2）若t＜x₁，试比较t²+bt+c与x₁的大小，并加以证明．