2011年四川省自贡市蜀光中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知x²-x-1=0，则x³-2x+1的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

已知，则的值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

3. 难度：中等

如图，AC是四边形ABCD的外接圆直径，BE⊥AC于E，交AD于P，交CD延长线于Q，若PQ=5，PE=4，则BE=（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

已知x²+y²+xy-x+y+1=0，则（x+1）^y=（ ）
A．
B．1
C．
D．4

5. 难度：中等

关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．-6＜a＜-
B．-6≤a＜-
C．-6＜a≤-
D．-6≤a≤-

6. 难度：中等

如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）

A．32千米
B．37千米
C．55千米
D．90千米

7. 难度：中等

如图，S_△ABC=60，BE：CE=1：2，AD：CD=3：1，则S_{四边形DOEC}=（ ）

A．10
B．11
C．12
D．13

8. 难度：中等

往杯子里注水（单位时间内的注水量保持不变），杯中水的高度h与注水时间t的关系如图所示，则杯子的形状可能是（ ）

A．①③
B．①②
C．①②③
D．②③

9. 难度：中等

如图，⊙O的弦AB与直径CD垂直于F，点E在AB上，且EA=EC，若CF=3，AC=5，则AE=（ ）

A．
B．3
C．5
D．以上都不对

10. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn；④EF不可能是△ABC的中位线．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

11. 难度：中等

计算sin60°+（）-|cos30°-1|--（sin30°）^-1=    ．

12. 难度：中等

已知BD、CE是△ABC的高，∠A=50°，直线BD、CE相交于点O，则∠BOC=    ．

13. 难度：中等

方程x²-2（m+1）x+m²=0的二根为x₁、x₂，当m满足    时，x₁²+x₂²-x₁x₂有最小值为    ．

14. 难度：中等

如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知二次函数y=x²-（m+4）x+2m+3的图象如图所示，则m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x²+px＞4x+p-3恒成立，则实数x的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知+|4-b|=0，先化简，再求值．
（+）÷．

18. 难度：中等

已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．
求证：AB=2DE．

19. 难度：中等

如图，直线y=x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S_△ABP=9．
（1）求点P的坐标；
（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

20. 难度：中等

矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，且∠ADB=30°，∠ADC的平分线交BC于E，连接OE．
（1）求∠COE的度数．
（2）若AB=4，求OE的长．

21. 难度：中等

某公司要招聘甲、乙两类员工共150人，甲、乙两类员工的月工资分别为600元和1000元．
（1）现要求乙类员工的人数不少于甲类员工的人数2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，可使得公司每月所付工资最少，最少工资总额是多少？
（2）在招聘两类员工的月工资总额最少的条件下，由于完成项目优秀，公司决定用10万元钱奖励所招聘的这批员工，其中甲类员工的奖金总数不大于乙类员工的奖金总数，但每人不得低于200元，若以百元为单位发放，试问有几种发放方案请具体写出（员工得到的奖金为整百）．

22. 难度：中等

如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的长分别是抛物线y=x²+2mx+m²-9与x轴的两个交点的横坐标．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

如图（1）所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，且OB=OC，又tan∠ACO=．
①求这个函数的表达式．
②经过C．D两点的直线与x轴交于点E，在抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点F的坐标．
③如图（2）所示，若G（2，t）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求此时P点的坐标和△APG的最大面积．