2010年北京市民大附中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

根据不等式组解集示意图，可以表示下列不等式组（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

函数的自变量的取值范围是（ ）
A．x≥1
B．x＞1
C．x≤1
D．x＜1

3. 难度：中等

下列立体图形（如图）的俯视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，▱ABCD中，∠C=108°，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（ ）

A．18°
B．36°
C．72°
D．108°

5. 难度：中等

把9a³-ab²因式分解正确的是（ ）
A．a（9a+b）（9a-b）
B．a（9a-b）²
C．a（3a+b）（3a-b）
D．（3a²-ab）²

6. 难度：中等

如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（ ）

A．4对
B．3对
C．2对
D．1对

7. 难度：中等

如果-2是方程x²-bx+2=0的一个根，那么b的值是（ ）
A．1
B．-1
C．3
D．-3

8. 难度：中等

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D点，若AC=6，则弧AD的长
为（ ）

A．2π
B．
C．π
D．

9. 难度：中等

如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（ ）

A．3
B．6
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC=a，∠BAC=18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=99°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若，则=    ．

12. 难度：中等

如果⊙O半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，那么AB与CD之间的距离是    cm．

13. 难度：中等

如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积是1cm²，则它移动的距离AA′等于    cm．

14. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示．有下列结论：①b²-4ac＜0；②ab＞0；③a-b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0．其中正确的是    ．

15. 难度：中等

如图所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．可求得c=    ，第2009个格子中的数为    ．

16. 难度：中等

如图，△ABC和△A₁B₁C₁均为等边三角形，点O既是AC的中点，又是A₁C₁的中点，则AA₁：BB₁=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求代数式的值，其中|a|=2，|b|=1．

18. 难度：中等

如图是某立体图形的三视图．
（1）写出这个立体图形的名称；
（2）根据图中数据，求这个立体图形的表面积．

19. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BD上，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4．
（1）求CD的长；
（2）若EB=8，CB=10，求sin∠C的值．

20. 难度：中等

小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．
小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．
（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．

21. 难度：中等

列方程（组）解应用题：
某校校庆活动中，花坛设计的一个造型需要摆放360盆鲜花，园林队的工人实际摆放的速度是原计划速度的1.2倍，结果提前1小时完成了任务，问工人实际每小时摆放多少盆鲜花？

22. 难度：中等

如图，⊙C经过坐标原点，并与坐标轴分别交于A、D两点，点B在⊙C上，∠B=30°，点D的坐标为（0，2），求A、C两点的坐标．

23. 难度：中等

已知关于x的方程x²-2bx+a-4b=0，其中a、b为实数．
（1）若此方程有一个根为a²（a≠0），求代数式的值；
（2）若对于任何实数b，此方程都有实数根，求a的取值范围．

24. 难度：中等

如图，已知边长为2的正方形ABCD，P是BC边上一点，E是BC边延长线上一点，过点P作PF⊥AP与∠DCE的平分线CF交于点F．AF与CD交于点G．
（1）求证：AP=PF；
（2）若AP=AG，试说明PG与CF有怎样的位置关系，并求△APG的面积．

25. 难度：中等

已知双曲线y=与直线y=相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值；
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．