2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为    ．

2. 难度：中等

下列两个方程组与有相同的解，则m+n=    ．

3. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=    ．

4. 难度：中等

已知a是方程x²-2002x+1=0的根，则=    ．

5. 难度：中等

A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有    个．

6. 难度：中等

某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘    时可使得每月所付工资最少，最小值是    ．

7. 难度：中等

已知，则分式=    ．

8. 难度：中等

如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S_△COD=3，S_△BDE=4，S_△OBC=5，那么S_{四边形ADOE}=    ．

9. 难度：中等

三边长为整数且最长边是11的三角形共有    个．

10. 难度：中等

已知方程：x³+4x²-11x-30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是    ．

11. 难度：中等

若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值．

12. 难度：中等

函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为    ．

二、解答题

13. 难度：中等

已知关于x的方程x²-（2m-3）x+m-4=O的二根为a₁、a₂，且满足-3＜a₁＜-2，a₂＞0．求m的取值范围．

14. 难度：中等

在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积．

15. 难度：中等

一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=______

16. 难度：中等

求方程组的实数解．

17. 难度：中等

如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．

18. 难度：中等

如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F，若．
求证：AD=AE．

19. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=∠BAF．

20. 难度：中等

如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数．