2012年北京市西城区（北区）中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

-6的相反数是（ ）
A．-6
B．-
C．
D．6

2. 难度：中等

国家体育场“鸟巢”建筑面积达258000平方米，258000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.58×10³
B．25.8×10⁴
C．2.58×10⁵
D．258×10³

3. 难度：中等

正五边形各内角的度数为（ ）
A．72°
B．108°
C．120°
D．144°

4. 难度：中等

抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D=40°，则∠A的度数为（ ）

A．20°
B．25°
C．30°
D．40°

6. 难度：中等

某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（ ）

A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人

7. 难度：中等

由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大值是（ ）

A．16
B．18
C．19
D．20

8. 难度：中等

对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，-1}=-1．若关于x的函数y=min{2x²，a（x-t）²}的图象关于直线x=3对称，则a、t的值可能是（ ）
A．3，6
B．2，-6
C．2，6
D．-2，6

二、填空题

9. 难度：中等

函数y=中，自变量x的取值范围是    ．

10. 难度：中等

分解因式：3a²-12ab+12b²=    ．

11. 难度：中等

如图，正方形ABCD的面积为3，点E是DC边上一点，DE=1，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上，落点记为F，则FC的长为    ．

12. 难度：中等

如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E．
（1）DE的长为    ；
（2）将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

解不等式组并求它的所有的非负整数解．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．

16. 难度：中等

已知2a+b=0，其中a不为0，求的值．

17. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，反比例函数（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．
（1）求m和k的值；
（2）若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=45°，直接写出点C的坐标．

18. 难度：中等

为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

19. 难度：中等

为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款户数的比为1：5．
捐款户数分组统计表

组别	捐款额（x）元	户数
A	1≤x＜100	a
B	100≤x＜200	10
C	200≤x＜300
D	300≤x＜400
E	x≥400

请结合以上信息解答下列问题．
（1）a=______，本次调查样本的容量是______；
（2）先求出C组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；
（3）若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？

20. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求AB的长．

21. 难度：中等

如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．
（1）求点O到BD的距离及∠OBD的度数；
（2）若DE=2BE，求cos∠OED的值和CD的长．

22. 难度：中等

阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
（1）图2中∠BPC的度数为______；
（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为______，正六边形ABCDEF的边长为______

23. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y₁=x²+px+q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y₂=x²+px+q+1顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

24. 难度：中等

已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
（1）求证：BF∥AC；
（2）若AC边的中点为M，求证：DF=2EM；
（3）当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

25. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A′，若QA-QB=，求点Q的坐标和此时△QAA′的面积．