2012年北京市东城区中考数学二模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

9的算术平方根是（ ）
A．-9
B．9
C．3
D．±3

2. 难度：中等

如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列运算正确的是（ ）
A．a²+a³=a⁵
B．a²•a³=a⁵
C．（a²）³=a⁵
D．a¹⁰÷a²=a⁵

4. 难度：中等

掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形
B．六边形
C．八边形
D．十边形

6. 难度：中等

在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S_甲²=18.3，S_乙²=17.4，S_丙²=20.1，S_丁²=12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁

7. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF的面积为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

如图，正方形ABCD的顶点A（0，），B（，0），顶点C，D位于第一象限，直线y=t，（0≤t≤），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线Y左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数Y=S的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

使有意义的x的取值范围是    ．

10. 难度：中等

一个扇形的圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为    ．

11. 难度：中等

观察下列等式：
1=1，
2+3+4=9，
3+4+5+6+7=25，
4+5+6+7+8+9+10=49，
…
照此规律，第5个等式为    ．

12. 难度：中等

如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，与正方形ABCD的边交于点G、H，则由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形（阴影部分）的面积S=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

解方程：．

15. 难度：中等

已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．
求证：AB=DC．

16. 难度：中等

先化简，再求值：（1-）÷，其中x=2．

17. 难度：中等

列方程或方程组解应用题：
小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与反比例函数的图象交于点A（-3，4），AC⊥x轴于点C．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）当直线AB绕着点A转动时，与x轴的交点为B（a，0），并与反比例函数图象的另一支还有一个交点的情形下，求△ABC的面积S与a之间的函数关系式．并写出自变量a的取值范围．

19. 难度：中等

为贯彻落实云南省教育厅提出的“三生教育”，在母亲节来临之际，某校团委组织了以“珍爱生命，学会生存，感恩父母”为主题的教育活动，在学校随机调查了50名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布和扇形统计图：

组别	做家务的时间	频数	频率
A	1≤t＜2	3	0.06
B	2≤t＜4	20	0.40
C	4≤t＜6	A	0.30
D	6≤t＜8	8	B
E	t≥8	4	0.08

根据上述信息回答下列问题：
（1）a=______，b=______；
（2）在扇形统计图中，B组所占圆心角的度数为______；
（3）全校共有2000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？

20. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，AE⊥BC于点E，cosB=，求tan∠CDE的值．

21. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=，BC=2，求⊙O的半径．

22. 难度：中等

阅读并回答问题：
小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使 i²=-1，那么当x²=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
据此可知：（1）i可以运算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，则i⁴=______，i²⁰¹¹=______，i²⁰¹²=______；
（2）方程x²-2x+2=0的两根为______（根用i表示）．

23. 难度：中等

已知关于x的方程（1-m）x²+（4-m）x+3=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若正整数m满足8-2m＞2，设二次函数y=（1-m）x²+（4-m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．

24. 难度：中等

已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．
（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；
（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．

25. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+2ax+c的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（-3，0）
（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；
（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标．