2010年湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷 （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若关于x的方程的解为正数，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）
A．1.6
B．2.5
C．3
D．3.4

3. 难度：中等

如图，将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向无滑动翻滚，可依次得到矩形A₁B₁C₁D，矩形A₂B₂C₁D₁，矩形A₃B₂C₂D₂，…，若AB=1，BC=2，那么AA₁₈的长为（ ）

A．12
B．36
C．24
D．18

4. 难度：中等

函数y=x²-（4a+1）x+3a²+3a的图象与x轴交于A、B两点，若两点间的距离等于2，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，A、B是曲线y=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S_阴影=1，则S₁+S₂=（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

6. 难度：中等

如图，已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB=60°，∠ABC=44°，则∠OAD为（ ）

A．32°
B．26°
C．28°
D．34°

二、填空题

7. 难度：中等

口袋中有4个相同的小球，它们分别写有数字2、3、4、5，从口袋中随机的取出两个球，用所得的两个数a和b构成函数y=ax-2和y=x+b，则使这两个函数的交点在直线x=2右侧的概率等于    ．

8. 难度：中等

一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为    cm²．

9. 难度：中等

已知点P₁（x₁，2010），P₂（x₂，2010）是二次函数y=ax²+bx+7（a≠0）图形上两点，则二次函数当x=x₁+x₂时的值为    ．

三、解答题

10. 难度：中等

已知9a²+6ab+b²=0，求的值．

11. 难度：中等

已知等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）若AP过圆心O，如图1，且圆O的直径为10cm，求CD的长；
（2）若AP不过圆心O，如图2，PC=3cm，求PD的长．

12. 难度：中等

甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模（总产量）进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
（1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
（2）第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模（即总产量）比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由；
（3）哪一年（取整数）的规律（即总产量）最大？请说明理由．

13. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）的函数图象与y轴交于点C（0，8），与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），且4a+2b+c=0，S_△ABC=32．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围并求面积S的最大值．