2012年天津市南开区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

2sin45°的值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2

2. 难度：中等

下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

2010年一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×10⁷
B．2.89×10⁶
C．2.89×10⁵
D．2.89×10⁴

4. 难度：中等

老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S²_甲=51、S²_乙=12，由此可知（ ）
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定

5. 难度：中等

如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题：①对角线相等的菱形是正方形；②对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；③一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形；④四边都相等，四角都相等的四边形是正方形．其中命题正确的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

7. 难度：中等

如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（ ）

A．2
B．7
C．2或5
D．2或8

8. 难度：中等

计算×+×的结果估计在（ ）
A．10到11之间
B．9到10之间
C．8到9之间
D．7到8之间

9. 难度：中等

用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y=min{x²+1，1-x²}，则y的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D（-1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P₁，点P₁绕点B旋转180°得点P₂，点P₂绕点C旋转180°得点P₃，点P₃绕点D旋转180°得点P₄，…，重复操作依次得到点P₁，P₂，…，则点P₂₀₁₀的坐标是（ ）

A．（2010，2）
B．（2010，-2）
C．（2012，-2）
D．（0，2）

二、填空题

11. 难度：中等

使有意义的x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知=3，则代数式的值为    ．

13. 难度：中等

分解因式：a³+a²-a-1=    ．

14. 难度：中等

某班50名学生的年龄统计结果如下表所示：

年龄	13	14	15	16
人数	4	22	23	1

这个班学生年龄的众数是    ，中位数是    ．

15. 难度：中等

已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，是半径为6的⊙D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是    ．

17. 难度：中等

如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为    ．

18. 难度：中等

在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB，可以发现：如果先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，那么△CGB恰可以拼接到△CHD的位置．且拼接成的新四边形FGCH恰是正方形．
（Ⅰ）请你类比图1的剪拼方法，在图2（a＜2b＜2a）中画出剪拼成一个新正方形的示意图．
（Ⅱ）当b＞a时，如图3的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由    ．

三、解答题

19. 难度：中等

解不等式组．

20. 难度：中等

已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（-1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．

21. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．

22. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF=，求图中阴影部分的面积．

23. 难度：中等

某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为4米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．

24. 难度：中等

为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

25. 难度：中等

如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，O）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，
（1）求点P的坐标；

（2）连BP、AP，在PB上任取一点E，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），求；

26. 难度：中等

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？