2013年浙江省杭州市中考数学模拟试卷（三）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面的计算正确的是（ ）
A．（-a²b）³=-a⁵b³
B．a+a²=3a²
C．2（a+b）=2a+b
D．a²•（a²）³=a⁸

2. 难度：中等

现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根能组成三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）

A．1.5
B．2
C．3
D．6

4. 难度：中等

在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

5. 难度：中等

如图，直线y=kx+b经过A（1，2），B（-2，-1）两点，则不等式＜kx+b＜2的解集为（ ）

A．＜x＜2
B．＜x＜1
C．-2＜x＜1
D．＜x＜1

6. 难度：中等

如图，在△ACH中，△ACB、△BDE和△DGF都是等边三角形，且点E、G在△ACH边CH上，设等边△ABC、△BDE、△DGF的面积分别为S₁、S₂、S₃，若S₁=9，S₃=1，则S₂=（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

7. 难度：中等

已知正比例函数y₁=x，反比例函数，由y₁，y₂构造一个新函数y=x+，其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
①该函数的图象是中心对称图形；
②当x＜0时，该函数在x=-1时取得最大值-2；
③y的值不可能为1；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
其中正确的命题是（ ）

A．①②④
B．①②③
C．②③
D．①③

8. 难度：中等

下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）

A．50
B．64
C．68
D．72

9. 难度：中等

若直线y=a（a为实数）与y=|x-x²|的图象有2个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．a＞或a=0
D．

10. 难度：中等

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．
其中结论正确的是（ ）

A．只有①②
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④

二、填空题

11. 难度：中等

在实数内分解因式：x⁴-2x²=    ．

12. 难度：中等

一元二次方程（a-1）x²-2x+1=0有实数根，则a的取值范围是   

13. 难度：中等

一列数a₁，a₂，a₃，…，其中a₁=，（n为不小于2的整数），则a₅的值为    ．

14. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD的边AB：BC=4：3，∠ABC=60°顶点A在y轴上，B，C在x轴上，D点在反比例函数（x＞0）的图象上，平行四边形CEFG的边CE：CG=1：2，顶点E在CD上，G在x轴上，F点在反比例函数的图象上，则点F的坐标为    ．

15. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜6），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为    ．

16. 难度：中等

已知：二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=    ；若抛物线上存在点P，使得△ABP是直角三角形，则k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．

18. 难度：中等

在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是______；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是______（用树状图或列表法求解）．

19. 难度：中等

某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图所示，1号救生员在岸边的A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=60°，且每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．请你通过计算说明两位救生员谁先到达点B？

20. 难度：中等

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．

21. 难度：中等

某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．
（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？
（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？
（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？

22. 难度：中等

在锐角三角形纸片ABC中，BC=4，高AD=3，直线EF∥BC，分别交线段AB，AC，AD于E，F，G，设EF=x．
（1）求线段AG的长（用含x的代数式表示）；
（2）将纸片沿直线EF折叠，设点A落在平面上的点为P，△PEF与四边形BCFE重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

23. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB₁的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．