2008-2009学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=（x-1）²+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）
B．（-1，1）
C．（1，-1）
D．（-1，-1）

2. 难度：中等

下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是（ ）

A．30°
B．60°
C．90°
D．45°

4. 难度：中等

若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．△ABC与△A′B′C′的相似比为
C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等
D．△ABC与△A′B′C′的相似比为

5. 难度：中等

在新年联欢会上，九年级（6）班的班委设计了一个游戏，并给予胜利者甲、乙两种不同奖品中的一种．现将奖品名称写在完全相同的卡片上，背面朝上整齐排列，如图所示．若阴影部分放置的是写有乙种奖品的卡片，则胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

用配方法解方程：x²-4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x-2）²=2
B．（x+2）²=2
C．（x-2）²=-2
D．（x-2）²=6

7. 难度：中等

某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300（1+x）=363
B．363（1-x）²=300
C．300（1+2x）=363
D．300（1+x）²=363

8. 难度：中等

如图，小明为节省搬运力气，把一个边长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A₁所走路径的长度为（ ）

A．m
B．m
C．m
D．m

二、填空题

9. 难度：中等

事件“圆锥的侧面展开图是半圆形”是    事件．

10. 难度：中等

如图所示，图中x=    ．

11. 难度：中等

聪聪用铅笔在一张白纸上点了一点O，然后拿起一把直尺，平放在纸上，让尺子的一条边贴住这个点O，用铅笔沿直尺的另一边画了一条直线（如图1），聪聪又把尺子换了位置，用刚才方法接着画出了第二条直线、第三条直线、…（如图2），慢慢的中间出现了一个圆（如图3）．请说说聪聪用直尺画圆的道理是    ．

12. 难度：中等

若函数y=ax²+3x+1与x轴只有一个交点，则a的值为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

解方程：x²+5x+3=0

14. 难度：中等

解方程：5（x-）=+（x-）

15. 难度：中等

当k满足什么条件时，关于x的方程kx²+4x-2=0有实数根．

16. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，求CD的长．

17. 难度：中等

如图，在边长为1的正方形网格中有一个△ABC．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A₁B₁C₁；
（2）在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转90°得到的△A₂B₂C；
（3）直接写出（2）中线段CB所扫过区域的面积．线段CB所扫过区域的面积为______．

18. 难度：中等

如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？

19. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-mx-2=0．
（1）若-1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）证明：对于任意实数m，函数y=x²-mx-2的图象与x轴总有两个交点．

20. 难度：中等

如图，⊙C经过坐标原点，并与坐标轴分别交于A、D两点，点B在⊙C上，∠B=30°，点D的坐标为（0，2），求A、C两点的坐标．

21. 难度：中等

请阅读下列材料：
问题：解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0．
明明的做法是：将x²-1视为一个整体，然后设x²-1=y，则（x²-1）²=y²，原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．
（1）当y=1时，x²-1=1，解得；
（2）当y=4时，x²-1=4，解得．
综合（1）（2），可得原方程的解为．
请你参考明明同学的思路，解方程x⁴-x²-6=0．

22. 难度：中等

如图，△ABC为圆O的内接三角形，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）求证：DE=DA；
（2）找出图中一对相似三角形，并证明．

24. 难度：中等

如图，半径为1的⊙O₁与x轴交于A、B两点，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点，其顶点为F．
（1）求b，c的值及二次函数顶点F的坐标；
（2）将二次函数y=-x²+bx+c的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C，在经过点B和点D（0，-3）的直线l上是否存在一点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三角板绕点O旋转，两直角边OQ、OR与矩形两邻边分别交于E、F两点．

（1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO=m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形．