第4章《一元二次方程》中考题集（18）：4.2 一元二次方程的解法（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知：关于x的方程2x²+3x-m+1=0的两个实数根的倒数和为3，求m的值．

2. 难度：中等

关x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有两个实数根x₁、x₂，
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足等式x₁x₂-x₁-x₂+1=0，求m的值．

3. 难度：中等

已知关于x的方程x²+kx-2=0的一个解与方程解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程x²+kx-2=0的另一个解．

4. 难度：中等

已知：关于x的方程mx²-14x-7=0有两个实数根x₁和x₂，关于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有两个实数根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．当+2（2y₁-y₂²）+14=0时，求m的取值范围．

5. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程3x²+2x-1=0的两根，求x₁²+x₂²的值．

6. 难度：中等

求一个一元二次方程，使它的两个根为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=10，x₁x₂=3．

7. 难度：中等

先阅读下面材料，然后解答问题：
王老师在黑板上出了这样一道习题：设方程2x²-5x+k=0的两个实数根是x₁，x₂，请你选取一个适当的k值，求的值．
小明同学取k=4，则方程是2x²-5x+4=0．
由根与系数的关系，得x₁+x₂=，x₁x₂=2．
∴
即．
问题（1）：请你对小明解答的正误作出判断，并说明理由．
问题（2）：请你另取一个适当的正整数k，其它条件不变，不解方程，改求|x₁-x₂|的值．

8. 难度：中等

已知α，β是关于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的两个实数根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，求实数m的值．

9. 难度：中等

已知关于x、y的方程组有两个不相同的实数解．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若和是方程组的两个不相同的实数解，是否存在实数k，使得y_ly₂--的值等于2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

阅读下列解题过程：
题目：已知方程x²+mx+1=0的两个实数根是p、q，是否存在m的值，使得p、q满足？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】
存在满足题意的m值．由一元二次方程的根与系数的关系得
p+q=m，pq=1．∴．∵，∴m=1．
阅读后回答下列问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，写出正确的解题过程．

11. 难度：中等

已知：x₁、x₂是关于x的方程x²+（2a-1）x+a²=0的两个实数根且（x₁+2）（x₂+2）=11，求a的值．

12. 难度：中等

已知关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0．
（1）求证：n＜0；
（2）试用k的代数式表示x₁；
（3）当n=-3时，求k的值．

13. 难度：中等

已知关于x的方程（m-1）x²-2mx+m=0有两个不相等的实数根x₁、x₂；
（1）求m的取值范围；
（2）若（x₁-x₂）²=8，求m的值．

14. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-（k+1）x-6=0的一个根是2，求方程的另一根x₁=______和k=______．

15. 难度：中等

设关于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0有两个实数根x₁、x₂，问是否存在x₁+x₂＜x₁•x₂的情况？

16. 难度：中等

在数学活动课时，王倩同学出了这样一道题：“已知x₁、x₂是方程x²-x+1=0的两个实数根，求x₁²+x₂²的值．”很快，张智同学便给出了如下的解答：“∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=1，∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-1．”
（1）你对王倩同学出的这道题及张智同学给出的解答是否有不同的看法？若有，请写出你的见解；
（2）写出一个你喜欢的一元二次方程，并求出的值．

17. 难度：中等

已知：关于x的方程x²+4x+a=0有两个实数根x₁、x₂，且2x₁-x₂=7，求实数a的值．

18. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0．
求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．

19. 难度：中等

已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+1-3m=0的两个实数根，且x₁、x₂满足不等式x₁•x₂+2（x₁+x₂）＞0，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程x²-2x-2=0的两实数根，不解方程求下列各式的值：
（1）；
（2）．

21. 难度：中等

已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m为整数．求m的值．

22. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+m=0
（1）x=1是方程的一个根，求方程的另一个根；
（2）若x₁，x₂是方程的两个不同的实数根，且x₁和x₂满足x₁²+x₂²+2x₁x₂-x₁²x₂²=0，求m的值．

23. 难度：中等

对于二次三项式x²-10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．

24. 难度：中等

解方程或不等式组；
（1）；
（2）．

25. 难度：中等

解方程：

26. 难度：中等

解方程：

27. 难度：中等

解方程：

28. 难度：中等

解方程：

29. 难度：中等

已知方程的解是k，求关于x的方程x²+kx=0的解．

30. 难度：中等

解方程：．