1. 难度:中等 | |
如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点. ①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF. 以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即: ①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①. (1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答); (2)请证明你认为正确的命题. |
2. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,∠C=60°,以AB为直径的半圆O分别交AC,BC于点D,E,已知⊙O的半径为. (1)求证:△CDE∽△CBA; (2)求DE的长. |
3. 难度:中等 | |
如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交于D. (1)请写出四个不同类型的正确结论; (2)连接CD,设∠CDB=α,∠ABC=β,试找出α与β之间的一种关系式,并予以证明. |
4. 难度:中等 | |
已知:如图,两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,经过点A的直线与两圆分别交于点C,点D,经过点B的直线与两圆分别交于点E,点F.若CD∥EF,求证: (1)四边形EFDC是平行四边形; (2). |
5. 难度:中等 | |
已知,如图,四边形ABCD内接于圆,延长AD、BC相交于点E,点F是BD的延长线上的点,且DE平分∠CDF (1)求证:AB=AC; (2)若AC=3cm,AD=2cm,求DE的长. |
6. 难度:中等 | |
已知⊙O的内接四边形ABCD中,AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状,并加以证明. |
7. 难度:中等 | |
我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究:根据给定的(或构造的)几何图形提出相关的概念和问题(或者根据问题构造图形),并加以研究. 例如:在平面上根据两条直线的各种构图,可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念;若增加第三条直线,则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题(包括研究的思想和方法). 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究: (1)如图1,在圆O所在平面上,放置一条直线m(m和圆O分别交于点A、B),根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些?(直接写出两个即可) (2)如图2,在圆O所在平面上,请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n(m与圆O分别交于点A、B,n与圆O分别交于点C、D).请你根据所构造的图形提出一个结论,并证明之; (3)如图3,其中AB是圆O的直径,AC是弦,D是的中点,弦DE⊥AB于点F.请找出点C和点E重合的条件,并说明理由. |
8. 难度:中等 | |
如图,已知BC是⊙O的直径,AH⊥BC,垂足为D,点A为的中点,BF交AD于点E,且BE•EF=32,AD=6. (1)求证:AE=BE; (2)求DE的长; (3)求BD的长. |
9. 难度:中等 | |
有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块直角三角板(注:不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹,写出画法. |
10. 难度:中等 | |
如图(1),在足球比赛中,球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关.如果在一次比赛中,小华和小勇分别处在图(2)中的A,B两点,球门的位置在线段CD,如果球在小华的脚下,此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好?(通过尺规作图说明原因) |
11. 难度:中等 | |
如图,直线DE经过⊙O上的点C,并且OE=OD,EC=DC,⊙O交直线OD于A、B两点,连接BC,AC,OC.求证: (1)OC⊥DE; (2)△ACD∽△CBD. |
12. 难度:中等 | |
如图,梯形ABCD内接于⊙O,BC∥AD,AC与BD相交于点E,在不添加任何辅助线的情况下: (1)图中共有几对全等三角形,请把它们一一写出来,并选择其中一对全等三角形进行证明; (2)若BD平分∠ADC,请找出图中与△ABE相似的所有三角形. |
13. 难度:中等 | |
如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC,延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E,连接BE、CE. (1)证明:△ABE∽△BFE; (2)证明:△BDE是等腰直角三角形; (3)如果四边形ABEC是梯形,试求∠ABC的大小. |
14. 难度:中等 | |
已知:如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P(P与O不重合),连接AC,BD,过A作AE⊥CP于E,过D作DF⊥PB于F. (1)请找出图中二对相似三角形:______∽______,______∽______; (2)请你从(1)中选择一对相似三角形加以证明. |
15. 难度:中等 | |
如图⊙O的内接△ABC中,外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点,DP⊥AC,垂足为P,DH⊥BF,垂足为H.问: (1)∠PDC与∠HDC是否相等,为什么? (2)图中有哪几组相等的线段? (3)当△ABC满足什么条件时,△CPD∽△CBA,为什么? |
16. 难度:中等 | |
如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E,连接BD. (1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形; (2)请选择其中的一对相似三角形加以证明. |
17. 难度:中等 | |
已知:在⊙O中,CD平分∠ACB,弦AB、CD相交于点E,连接AD、BD. (1)写出图中3对相似的三角形(不必证明); (2)找出图中相等的线段,并说出理由. |
18. 难度:中等 | |
如下图,在⊙O中,点P在直径AB上运动,但与A、B两点不重合,过点P作弦CE⊥AB,在上任取一点D,直线CD与直线AB交于点F,弦DE交直线AB于点M,连接CM. (1)如图1,当点P运动到与O点重合时,求∠FDM的度数. (2)如图2、图3,当点P运动到与O点不重合时,求证:FM•OB=DF•MC. |
19. 难度:中等 | |
如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点. (1)求证:AC•CD=PC•BC; (2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长; (3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S. |
20. 难度:中等 | |
如图,已知:在⊙O中,直径AB=4,点E是OA上任意一点,过E作弦CD⊥AB,点F是上一点,连接AF交CE于H,连接AC、CF、BD、OD. (1)求证:△ACH∽△AFC; (2)猜想:AH•AF与AE•AB的数量关系,并说明你的猜想; (3)探究:当点E位于何处时,S△AEC:S△BOD=1:4,并加以说明. |
21. 难度:中等 | |
如图,在边长为2的圆内接正方形ABCD中,AC是对角线,P为边CD的中点,延长AP交圆于点E. (1)∠E=______度; (2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形,并说明理由; (3)求弦DE的长. |
22. 难度:中等 | |
如图,已知⊙O的弦CD垂直于直径AB,点E在CD上,且EC=EB. (1)求证:△CEB∽△CBD; (2)若CE=3,CB=5,求DE的长. |
23. 难度:中等 | |
如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点E,AB=CD. (1)求证:AC=BD; (2)若F是⊙O上一点,且,AF的延长线与DB的延长线交于点P,求证:ED2=EB•EP. |
24. 难度:中等 | |
如图,△ABC内接于⊙O,直径CD⊥AB,垂足为E,弦BF交CD于点M,交AC于点N,且BF=AC,连接AD、AM. 求证:(1)△ACM≌△BCM; (2)AD•BE=DE•BC; (3)BM2=MN•MF. |
25. 难度:中等 | |
(1)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AD、BC的延长线交于点E.显然△EAB∽△ECD,在不添加辅助线的情况下,请你在图中找出另外一对相似三角形,并加以证明; (2)如图,有一个均匀的正二十面体形状的骰子,其中1个面标有“1“,2个面标有“2”,3个面标有“3“,4个面标有“4“,5个面标有“5”,其余的面标有“6“,将这个骰子掷出后, ①“6”朝上的概率是多少? ②哪个数字朝上的概率最大? |