1. 难度:中等 | |
如图,PC切⊙O于点C,过圆心的割线PAB交⊙O于A、B两点,BE⊥PE,垂足为E,BE交⊙O于点D,F是PC上一点,且PF=AF,FA的延长线交⊙O于点G.求证: (1)∠FGD=2∠PBC; (2). |
2. 难度:中等 | |
已知:如图,直线PA交⊙O于A、E两点,PA的垂线DC切⊙O于点C,过A点作⊙O的直径AB. (1)求证:AC平分∠DAB; (2)若DC=4,DA=2,求⊙O的直径. |
3. 难度:中等 | |
如图,点O是Rt△ABC斜边上一点,⊙O与AC,BC分别相切于点M,N. (1)△AMO是否相似于△ONB?______(填“是”或“否”); (2)如果OA=4,OB=3,⊙O的半径为______. |
4. 难度:中等 | |
已知,如图(甲),正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O,过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E. (1)求四边形CDFP的周长; (2)试探索P在线段MC上运动时,求AF•BP的值; (3)延长DC、FP相交于点G,连接OE并延长交直线DC于H(如图乙),是否存在点P,使△EFO∽△EHG?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
已知,如图,直线l与⊙O相切于点D,弦BC∥l,与直径AD相交于点G,弦AF与BC交于点E,弦CF与AD交于点H. (1)求证:AB=AC; (2)如果AE=6,EF=2,求AC. |
6. 难度:中等 | |
如图是不倒翁的正视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=25°,求∠APB的度数. |
7. 难度:中等 | |
如图1,AB是⊙O的直径,直线l交⊙O于C1、C2,AD⊥l,垂足为D. (1)求证:AC1•AC2=AB•AD. (2)若将直线l向上平移(如图2),交⊙O于C1、C2,使弦C1C2与直径AB相交(交点不与A、B重合),其他条件不变,请你猜想,AC1、AC2、AB、AD之间的关系,并说明理由. (3)若将直线l平移到与⊙O相切时,切点为C,其他条件不变,请你在图3上画出变化后的图形,标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么?(只写出关系,不加以说明) |
8. 难度:中等 | |
已知AC切⊙O于A,CB顺次交⊙O于D、B点,AC=8,BD=12,连接AD、AB. (1)证明:△CAD∽△CBA; (2)求线段DC的长. |
9. 难度:中等 | |
已知:如图,AB是⊙O的直径,点P为BA延长线上一点,PC为⊙O的切线,C为切点,BD⊥PC,垂足为D,交⊙O于E,连接AC、BC、EC. (1)求证:BC2=BD•BA; (2)若AC=6,DE=4,求PC的长. |
10. 难度:中等 | |
如图,AB是圆O的弦,直线DE切圆O于点C,AC=BC, 求证:DE∥AB. |
11. 难度:中等 | |
已知:如图,AB是⊙O的直径,P是AB上的一点(与A、B不重合),QP⊥AB,垂足为P,直线QA交⊙O于C点,过C点作⊙O的切线交直线QP于点D.则△CDQ是等腰三角形. 对上述命题证明如下: 证明:连接OC ∵OA=OC ∴∠A=∠1 ∵CD切O于C点 ∴∠OCD=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠A+∠2=90° 在Rt△QPA中,∠QPA=90° ∴∠A+∠Q=90° ∴∠2=∠Q ∴DQ=DC 即CDQ是等腰三角形. 问题:对上述命题,当点P在BA的延长线上时,其他条件不变,如图所示,结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. |
12. 难度:中等 | |
如图,AB是⊙O的直径,P是AB的延长线上的一点,PC切⊙O于点C,⊙O的半径为3,∠PCB=30度. (1)求∠CBA的度数;(2)求PA的长. |
13. 难度:中等 | |
如图,已知△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E,连接OE,CD=,∠ACB=30°. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)分别求AB,OE的长; (3)填空:如果以点E为圆心,r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1,则r的取值范围为______ |
14. 难度:中等 | |
如图,⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆,点D在弧BC上运动(不与B,C重合),过点D作DE∥BC,DE交AC的延长线于点E,连接AD,CD. (1)在图1中,当AD=2,求AE的长; (2)当点D为的中点时: ①DE与⊙O的位置关系是______; ②求△ADC的内切圆半径r. |
15. 难度:中等 | |
如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C. (1)求证:直线PB与⊙O相切; (2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长. |
16. 难度:中等 | |
如图,⊙O的直径AC=13,弦BC=12.过点A作直线MN,使∠BAM=∠AOB. (1)求证:MN是⊙O的切线; (2)延长CB交MN于点D,求AD的长. |
17. 难度:中等 | |
如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半径是3cm. (1)求点O到线段ND的距离; (2)过点A作BN的平行线EF,判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由. |
18. 难度:中等 | |
如图,⊙O的直径AB=4,C、D为圆周上两点,且四边形OBCD是菱形,过点D的直线EF∥AC,交BA、BC的延长线于点E、F. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)求DE的长. |
19. 难度:中等 | |
如图,已知△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,D是的中点,过点D作直线BC的垂线,分别交CB、CA的延长线E、F. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若EF=8,EC=6,求⊙O的半径. |
20. 难度:中等 | |
如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°. (1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O的半径为3cm,AE=5cm,求∠ADE的正弦值. |
21. 难度:中等 | |
如图,AB为半圆O的直径,点C在半圆O上,过点O作BC的平行线交AC于点E,交过点A的直线于点D,且∠D=∠BAC. (1)求证:AD是半圆O的切线; (2)若BC=2,CE=,求AD的长. |
22. 难度:中等 | |
如图,A、B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,点D为劣弧的中点. (1)求证:四边形AOBD是菱形; (2)延长线段BO至点P,交⊙O于另一点C,且BP=3OB,求证:AP是⊙O的切线. |
23. 难度:中等 | |
如图1,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB. (1)求证:BC为⊙O的切线; (2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图2所示),若AB=2,AD=2,求线段BC和EG的长. |
24. 难度:中等 | |
已知“6”字形图中,FM是大⊙O的直径,BC与大⊙O相切于B,OB与小⊙O相交于A,AD∥BC,CD∥BH∥FM,DH⊥BH于H,设∠FOB=30°,OB=4,BC=6. ﹙1﹚求证:AD为小⊙O的切线; ﹙2﹚求DH的长.﹙结果保留根号﹚ |
25. 难度:中等 | |
如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD. (1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由; (2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的长. |
26. 难度:中等 | |
如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连接BD. (1)若AD=3,BD=4,求边BC的长; (2)取BC的中点E,连接ED,试证明ED与⊙O相切. |
27. 难度:中等 | |
如图所示,AB是⊙O的直径,D是圆上一点,=,连接AC,过点D作弦AC的平行线MN. (1)证明:MN是⊙O的切线; (2)已知AB=10,AD=6,求弦BC的长. |
28. 难度:中等 | |
如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)求证:BC=AB; (3)点M是的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN•MC的值. |
29. 难度:中等 | |
如图,⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上,⊙O经过C、D两点,与斜边AB交于点E,连接BO、ED,有BO∥ED,作弦EF⊥AC于G,连接DF. (1)求证:AB为⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为5,sin∠DFE=,求EF的长. |