| 1. 难度：中等 | |
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如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D． （1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； （2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线； （3）若过A，D，C三点的圆的半径为  ，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
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| 2. 难度：中等 | |
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如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE． （1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，BD=  ，求BC的长．
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| 3. 难度：中等 | |
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如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P． （1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形． 
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| 4. 难度：中等 | |
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12cm，AD=8cm，BC=22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？ 
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| 5. 难度：中等 | |
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连接DE、OE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果⊙O的半径是  cm，ED=2cm，求AB的长．
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| 6. 难度：中等 | |
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如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC． （1）求证：MN是半圆的切线． （2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG． （3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积． 
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| 7. 难度：中等 | |
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如图，AB是半圆O的直径，C是半径OA上一点，PC⊥AB，点D是半圆上位于PC右侧的一点，连接AD交线段PC于点E，且PD=PE． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x，PD2=y． ①求y关于x的函数关系式； ②当x=1时，求tan∠BAD的值． 
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| 8. 难度：中等 | |
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已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OA=10，AD=16，求AC的长． 
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| 9. 难度：中等 | |
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一副斜边相等的直角三角板（∠DAC=45°，∠BAC=30°），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形． （1）A，B，C，D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由； （2）过点D作直线l∥AC，求证：l是这个圆的切线． 
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD． 求证：CD是⊙O的切线． 
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| 11. 难度：中等 | |
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如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB． （1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； （2）当AB=10，BC=8时，求BD的长． 
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| 12. 难度：中等 | |
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如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD为圆O的直径，AB=AC，AD交BC于E，ED=2AE． （1）求证：AB2=AD•AE； （2）求∠ADB的度数； （3）延长DB到F，使BF=BO，连接FA．求证：直线FA为⊙O的切线． 
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| 13. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E． （1）证明：CF是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长． 
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| 14. 难度：中等 | |
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如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若tan∠CED=  ，⊙O的半径为3，求OA的长．
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| 15. 难度：中等 | |
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已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值． 
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| 16. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若  = ，求 的值．
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| 17. 难度：中等 | |
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在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E． （1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； （2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求  的值．
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| 18. 难度：中等 | |
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如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD=12，EC=10，求AD的长． 
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于F，直线CF交直线AB于点G． （1）求证：点F是BD的中点； （2）求证：CG是⊙O的切线． 
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| 20. 难度：中等 | |
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如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为  ，DE=3，求AE．
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| 21. 难度：中等 | |
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，在AB的延长线上取一点P，连接PC．当PB= AB时，求证：PC是⊙O的切线．
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| 22. 难度：中等 | |
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如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动． （1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切； （2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式； （3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值． 
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| 23. 难度：中等 | |
 已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． |
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| 24. 难度：中等 | |
如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且CD=BD．求证：BD是⊙O的切线．
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| 25. 难度：中等 | |
如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A=∠B=30度．BD是⊙O的切线吗？请说明理由．
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| 26. 难度：中等 | |
如图，⊙P与⊙O相交于A、B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧上 任意一点（不与点A、B重合），连接AB、AC、BC、OC．（1）指出图中与∠ACO相等的一个角； （2）当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？请说明理由； （3）当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由． 
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| 27. 难度：中等 | |
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如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts． （1）求PQ的长； （2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？ 
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| 28. 难度：中等 | |
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如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由； （2）请证明：E是OB的中点； （3）若AB=8，求CD的长． 
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| 29. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长． 
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| 30. 难度：中等 | |
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．
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